Характеристическое уравнение

Составление дифференциальных уравнений динамики сложной системы, на основе которых можно составить характеристическое уравнение и тем самым решить вопрос об устойчивости системы. Сложная проблема для инженеров – практиков. С другой стороны передаточные функции элементов и системы в целом; как правело, известны или легко определяются.

Поэтому удобно было бы решать вопрос об устойчивости системы по её передаточной функции (например, из передаточной функции выразить характеристическое уравнений).

Рассмотрим дифференциальное уравнение свободного движения системы.

(8)

Преобразуем его по Лапласу:

(9)

D(s) – собственный оператор выходной переменной.

Тождество (9) будет выполняться для всех значений Y(s) при условии, что:

(10)

Тождество (10) выражает условие свободного движения системы (т.е. при отсутствии или снятия входного воздействия).

Это условие свободного движения системы выразим через передаточную функцию:

(11)

или (12)

Уравнения (9) и (12) идентичны и выражают свободное движение системы.

Итак, для свободного движения системы:

(13)

А теперь запишем характеристическое уравнение исходя из уравнения (8):

(14)

Сравнивая (13) и (14) можно сделать вывод, что коэффициенты характеристического уравнения можно получить из передаточной функции, приравняв обратную величину передаточной функции к нулю.