Взаимное расположение прямой с плоскостью

1. Угол между прямой с направляющим вектором и плоскостью с нормальным вектором вычисляется по формуле

.

2. Условие параллельности прямой и плоскости: прямая с направляющим вектором и плоскость с нормальным вектором параллельны тогда и только тогда, когда

.

3. Условия перпендикулярности прямой и плоскости: прямая с направляющим вектором и плоскость с нормальным вектором перпендикулярны тогда и только тогда, когда

.

4. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости: прямые с направляющим вектором и с направляющим вектором принадлежат плоскости тогда и только тогда, когда

.

5. Условия принадлежности прямой плоскости: прямая с направляющим вектором принадлежит плоскости с нормальным вектором тогда и только тогда, когда выполняется

4.2. Контрольные задания

1. Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее z ₁, z ₂, z ₃ через x ₁, x ₂, x ₃.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

2. Дана система линейных уравнений. Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) с помощью обратной матрицы.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

3. Даны вершины треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение медианы CM, проведенной из вершины С; 3) уравнение высоты СH, проведенной из вершины С; 4) уравнение прямой L, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; 5) длину высоты СH; 6) величину внутреннего угла А (в радианах). Сделать чертеж.

1. A (1; 1), B (7; 4), C (4; 5). 2. A (1; 1), B (–5; 4), C (–2; 5).

3. A (–1; 1), B (5; 4), C (2; 5). 4. A (–1; 1), B (–7; 4), C (–4; 5).

5. A (1; –1), B (7; 2), C (4; 5). 6. A (1; –1), B (–5; 2), C (–2; 3).

7. A (–1; –1), B (5; 2), C (2; 3). 8. A (–1; –1), B (–7; 2), C (–4; 3).

9. A (0; 1), B (6; 4), C (3; 5). 10. A (1; 0), B (7; 3), C (4; 4).

4. Составить уравнение и построить линию, для каждой точки которой выполняется следующее условие:

1. Расстояние ее до точки F (–1; –2) равно расстоянию от прямой
x = –3;

2. Отношение расстояний до точки F (7; 0) и прямой x = 1 равно ;

3. Отношение расстояний до точки F (2; 0) и прямой x = 3 равно ;

4. Расстояние ее до точки F (3; 3) равно расстоянию от прямой
x = –2;

5. Отношение расстояний до точки F (2; 0) и прямой равно 2;

6. Отношение расстояний до точки F (–1; 0) и прямой x = –9 равно ;

7. Расстояние ее до точки F (–3; 2) равно расстоянию от прямой x = 2;

8. Отношение расстояний до точки F (3; 0) и прямой x = 2 равно ;

9. Отношение расстояний до точки F (–4,5; 0) и прямой x = –8 равно 0,75;

10. Расстояние ее до точки F (1; 0) равно расстоянию от прямой x = 3.

5. Написать разложение вектора по векторам , , .

1. , , , .

2. , , , .

3. , , , .

4. , , , .

5. , , , .

6. , , , .

7. , , , .

8. , , , .

9. , , , .

10. , , , .

6. Даны вершины пирамиды A ₁ A ₂ A ₃ A ₄. Найти: 1) угол между ребрами A ₁ A ₃ и A ₁ A ₄; 2) площадь грани A ₁ A ₂ A ₃; 3) уравнение плоскости, содержащей грань A ₁ A ₂ A ₃; 4) уравнения высоты пирамиды, проведенной через вершину A ₄. Сделать схематический чертеж.

1. A ₁(2; 1; –4), A ₂(1; –2; 3), A ₃(1; –2; –3), A ₄(5; –2; 1).

2. A ₁(2; –1; 3), A ₂(–5; 1; 1), A ₃(0; 3; –4), A ₄(–1; –3; 4).

3. A ₁(5; 3; 2), A ₂(1; –8; 8), A ₃(4; –1; 2), A ₄(1; 4; –1).

4. A ₁(–2; 3; 4), A ₂(4; 2; –1), A ₃(2; –1; 4), A ₄(–1; –1; 1).

5. A ₁(4; –4; 0), A ₂(–5; 3; 2), A ₃(8; 0; 1), A ₄(2; 2; 3).

6. A ₁(–3; –4; 0), A ₂(0; –1; 3), A ₃(–6; 4; 2), A ₄(–3; 0; 3).

7. A ₁(0; 4; –4), A ₂(5; 1; –1), A ₃(–1; –1; 3), A ₄(0; –3; 7).

8. A ₁(0; –6; 3), A ₂(3; 3; –3), A ₃(–3; –5; 2), A ₄(–1; –4; 0).

9. A ₁(2; –1; –3), A ₂(0; 0; 0), A ₃(5; –1; –1), A ₄(–1; –1; 1).

10. A ₁(1; 5; 8), A ₂(–2; 1; 4), A ₃(3; –2; –3), A ₄(1; –1; 0).

4.3. Пример решения контрольной работы

Задание 1. Даны два линейных преобразования:

и

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее z ₁, z ₂, z ₃ через x ₁, x ₂, x ₃.

Решение. Первое преобразование определяется матрицей А, а второе – матрицей В, где

, .

Искомое преобразование является произведением данных преобразований с матрицей

.

Перемножив матрицы В и А, получим матрицу

.

Следовательно, искомое преобразование таково:

Ответ:

Задание 2. Дана система линейных уравнений Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) с помощью обратной матрицы.

Решение. 1) Запишем расширенную матрицу В системы и найдем ранг матрицы В методом Гаусса, приводя к ступенчатому виду.

~ ~

~ .

Так как ранг матрицы равен числу ненулевых строк, то r (B) = 3.

Основная матрица А системы, состоящая из коэффициентов системы имеет вид

.

Рассуждая аналогично, получаем, что r (А) = 3.

Так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, то по теореме Кронекера-Капелли система совместна и имеет единственное решение.

Финальную матрицу В запишем в виде системы

и найдем ее решение. Из последнего уравнения системы следует, что х ₃ = –2. Подставляя х ₃ = –2 во второе уравнение, найдем –6 х ₂ + 2 = –4 или –6 х ₂ = –6 или х ₂ = 1. Наконец, подставляя х ₂ = 1 и х ₃ = –2 в первое уравнение системы, получим х ₁ + 5 + 2 = 3 или х ₁ = –4.

2) Обозначим

, , .

Вычислим определитель основной матрицы А системы по правилу треугольников

.

Так как | A | ¹ 0, то матрица А невырожденная, и существует обратная матрица.

Вычислим обратную матрицу А ^–1 по формуле

,

где А_ij – алгебраическое дополнение элемента а_ij матрицы А.

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Таким образом, получим

.

По формуле Х = А ^–1 В находим решение системы в матричной форме

.

Используя определение равенства двух матриц, получаем

х ₁ = –4, х ₂ = 1, х ₃ = –2.

Ответ: х ₁ = –4, х ₂ = 1, х ₃ = –2.

Задание 3. Даны вершины А (–1; 0), В (5; 2), С (2; 4) треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение медианы CM, проведенной из вершины С; 3) уравнение высоты СH, проведенной из вершины С; 4) уравнение прямой L, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; 5) длину высоты СH; 6) величину внутреннего угла А (в радианах). Сделать чертеж.

Решение. Изобразим заданный треугольник в декартовой прямоугольной системе координат (рис. 10).

1) Длину стороны АВ найдем, используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости

.

Подставляя в нее координаты точек А (–1; 0) и В (5; 2), окончательно получим

(ед.).

Рис. 10

2) По определению медианы точка М медианы CМ делит сторону АВ пополам. Следовательно, ее координаты определяются по формулам деления отрезка пополам

, .

Таким образом, получена точка М (2; 1).

Уравнение медианы CМ найдем как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки C и М, по формуле

, т. е. или .

По свойству пропорции отсюда следует уравнение CМ

или .

3) Уравнение высоты СH как прямой, проходящей через точку С перпендикулярно стороне АВ, будем искать в виде

,

где угловой коэффициент найдем из условия перпендикулярности прямых СH и АВ

.

Угловой коэффициент определим, используя формулу углового коэффициента прямой

,

следовательно,

.

Уравнение высоты примет теперь вид

или .

4) Аналогично, уравнение прямой L, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ, будем искать в виде

,

где угловой коэффициент прямой L найдем из условия параллельности прямых L и AB

.

Уравнение прямой L примет вид

или .

5) Длину высоты СН найдем, используя формулу расстояния от точки С до прямой АВ

,

где есть общее уравнение стороны АВ. Найдем уравнение стороны АВ по формуле

, т. е. , или .

Подставляя в найденное уравнение координаты точки С, получим

(ед.).

6) Из рис. 10 видно, что внутренний угол А треугольника АВС есть угол, на который нужно повернуть сторону АВ в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки) до совмещения ее со стороной АС. Поэтому тангенс угла А найдем по формуле

.

Угловой коэффициент (найден в п. 3). Аналогично найдем

,

тогда

,

следовательно,

(рад.).

Ответ: 1) длина стороны АВ: ед.; 2) уравнение медианы CМ: ; 3) уравнение высоты СН: ; 4) уравнение прямой L: ; 5) длина высоты СН: ед.; 6) величина внутреннего угла А: рад.

Задание 4. Составить уравнение и построить линию, для каждой точки которой выполняется следующее условие: отношение расстояний до точки F (–1; 0) и прямой равно .

Решение. Сделаем схематический чертеж по условию задачи (рис. 11).

Рис. 11

Предположим, что М (x; y) – текущая точка искомой линии. Тогда точка N (–4; y) является ее проекцией на прямой x = –4.

По условию задачи выполняется следующее отношение расстояний

или .

Используя формулу расстояния между двумя точками, выразим полученное буквенное равенство в координатной форме и преобразуем его к виду канонического уравнения одной из кривых второго порядка

или ,

или .

Получили каноническое уравнение эллипса: , у которого полуоси есть и .

Построим линию по ее уравнению (рис. 12).

Рис. 12

Ответ: эллипс.

Задание 5. Написать разложение вектора по векторам , , .

Решение. Требуется представить вектор в виде , где a, b, g – числа. По правилу умножения вектора на число получим

, , .

По правилу сложения векторов получим

.

По определению равенства двух векторов получим систему линейных уравнений относительно неизвестных a, b, g

Решим систему по формулам Крамера. Составим четыре определителя D, D₁, D₂, D₃ третьего порядка и вычислим их по правилу треугольников. Так как

,

то система имеет единственное решение;

, ,

.

По формулам Крамера получим

, , .

Таким образом, искомое разложение имеет вид

.

Ответ: .

Задание 6. Даны вершины A ₁(1; –1; 2), A ₂(2; 1; 2), A ₃(1; 1; 4),
A ₄(6; –3; 8) пирамиды A ₁ A ₂ A ₃ A ₄. Найти: 1) величину угла между ребрами A ₁ A ₃ и A ₁ A ₄; 2) площадь грани A ₁ A ₂ A ₃; 3) уравнение плоскости, содержащей грань A ₁ A ₂ A ₃; 4) уравнения высоты пирамиды, проведенной через вершину A ₄. Сделать схематический чертеж.

Решение. Сделаем схематический чертеж (рис. 13).

1. Найдем векторы и , проходящие через 2 заданные точки:

,

.

Находим косинус угла между векторами по формуле:

,

следовательно, угол (рад.).

Рис. 13

2. Гранью A ₁ A ₂ A ₃ пирамиды A ₁ A ₂ A ₃ A ₄ является треугольник A ₁ A ₂ A ₃, площадь которого определим по формуле:

.

Координаты вектора (см. п. 1). Аналогично найдем координаты вектора :

.

Вычислим теперь векторное произведение векторов и :

.

Тогда длина векторного произведения равна:

.

Таким образом, окончательно получим:

(кв. ед.).

3. Уравнение искомой плоскости составим как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки A ₁, A ₂, A ₃ в форме определителя 3-го порядка:

или .

Приведем это уравнение плоскости к общему уравнению:

,

,

.

4. Уравнения высоты, опущенной из точки А ₄ на грань А ₁ А ₂ А ₃ найдем как прямую, проходящую через точку А ₄ перпендикулярно плоскости А ₁ А ₂ А ₃ в форме канонических уравнений прямой

,

где вектор является направляющем вектором прямой (коллинеарен прямой). В п. 3 было найдено уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃: , следовательно, ее нормальным вектором является вектор

.

Т. к. вектор коллинеарен высоте, то его можно выбрать в качестве направляющего вектора прямой. Следовательно, искомые уравнения высоты имеют вид:

.

Ответ: 1) величина угла между ребрами A ₁ A ₃ и A ₁ A ₄: рад.; 2) площадь грани A ₁ A ₂ A ₃: кв. ед.; 3) уравнение плоскости A ₁ A ₂ A ₃: ; 4) уравнения высоты из вершины A ₄: .

4.4. Вопросы для самопроверки

1. Определение числовой матрицы. Понятие о матрице-строке, матрице-столбце, квадратной матрице, главной и побочной диагоналях квадратной матрицы.

2. Определение единичной и нулевой матрицы. Определение равенства двух матриц.

3. Линейные операции над матрицами. Основные свойства.

4. Нелинейные операции над матрицами. Основные свойства. Определение коммутативных матриц.

5. Определители квадратных матриц 2-го, 3-го и т. д. n -го порядка.

6. Определение минора и алгебраического дополнения элемента определителя.

7. Определение обратной матрицы. Невырожденные матрицы. Формула нахождения обратной матрицы.

8. Основные понятия системы m линейных уравнений с n неизвестными. Элементарные преобразования системы.

9. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

10. Ранг матрицы. Условие совместности линейной системы.

11. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

12. Прямоугольные декартовы координаты точки на плоскости.

13. Три основные задачи на плоскости: расстояние между двумя точками, деление направленного отрезка в данном отношении, площадь треугольника.

14. Линия как геометрическое место точек. Уравнение линии. Параметрические уравнения линии.

15. Угол наклона и угловой коэффициент прямой. Различные виды уравнения прямой на плоскости.

16. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.

17. Расстояние от данной точки до данной прямой.

18. Кривые второго порядка: окружность, парабола, эллипс и гипербола.

19. Векторы: основные понятия.

20. Линейные операции над векторами и их свойства.

21. Прямоугольные декартовы координаты точки в пространстве.

22. Линейно зависимые и независимые векторы. Понятие n -мерного векторного пространства. Базис векторного пространства. Разложение вектора по ортонормированному базису. Декартовы координаты вектора. Формулы перехода от одного базиса к другому.

23. Линейные операции над векторами в координатной форме. Условие коллинеарности двух векторов.

24. Скалярное произведение векторов. Основные свойства и следствия из них.

25. Векторное произведение векторов. Свойства. Геометрический смысл векторного произведения.

26. Смешанное произведение векторов. Условие их компларности. Геометрический смысл смешанного произведения.

27. Различные виды уравнения плоскости.

28. Неполные уравнения плоскости.

29. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

30. Расстояние от точки до плоскости.

31. Различные виды уравнений прямой в пространстве.

32. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

33. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Список литературы

1. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу [и др.]. – М.: Рольф, 2001. – 576 с.

2. Методические указания для студентов специальности 060800 «Экономика и управление на предприятии (строительство)» заочной формы обучения по дисциплине «Высшая математика» / ВИСТех (филиал) ВолгГАСУ; [сост. Е.В. Абрамов, Е.Д. Илларионова, Е.Ю. Волченко]. – Волжский: ВИСТех (филиал) ВолгГАСУ, 2010. – 95 с.

3. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. / Д. Т. Письменный. – М.: Рольф, 2001. – 288 с.

4. Рябушко, А. П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть 1 / А. П. Рябушко [и др.]. – Мн.: Выш. шк., 1992

План уч.-метод. докум. 2012 г., поз. № 20

Составители: Е. В. Абрамов, Д. П. Торшин

элементы линейной алгебры и

аналитической геометрии

Методические указания по самостоятельной работе и

задания контрольной работы

для студентов заочной формы обучения

по направлениям «Строительство» и

«Наземные транспортно-технологические комплексы»

Редактор Е. В. Румянцева

Подписано в печать 19.05.2010 г. Формат 60 х 84 / 16.

Гарнитура Times New Roman. Бумага UNION PRINTS.

Печать трафаретная.

Усл. печ. л. 5,52. Уч.-изд. л. 5,94. Т. 62 экз.

Волжский институт строительства и технологий (филиал)

Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета

404111 г. Волжский, пр. Ленина, 72