Линейные операции над векторами

1. Суммой векторов и называется вектор , идущий из начала первого вектора в конец второго вектора при условии, что начало второго вектора приложено к концу первого (рис. 5).

Рис. 5

Это правило называется правилом треугольника.

2. Свойства операции сложения:

1) ,

2) ,

3) ,

4) .

3. Первое свойство приводит к правилу параллелограмма сложения векторов: сумма двух векторов изображается диагональю параллелограмма, проведенной из общего начала (рис. 6).

Рис. 6

4. Разностью векторов и называется вектор , равный сумме вектора и , противоположного вектору , т. е.

.

Из определения видно, что этот вектор изображается второй диагональю параллелограмма, идущей из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого при условии, что оба вектора и приведены к общему началу (рис. 7).

Рис. 7

5. Произведением вектора на число a называется вектор , удовлетворяющий трем условиям:

1) ,

2) || ,

3) ­­ , если a > 0, ­¯ , если a < 0 и = , если a = 0.

6. Свойства операции умножения вектора на число:

1) ,

2) ,

3) .

7. Множество векторов с тремя линейными операциями, удовлетворяющих свойствам п. 2 и п. 6, называется линейным (векторным) пространством. Обозначение: Rⁿ.