Действия над векторами в координатной форме

1. Если и , то координаты вектора равны

.

2. Два вектора и равны тогда и только тогда, когда

3. Сумма векторов и есть вектор

.

4. Разность векторов и есть вектор

.

5. Произведение вектора на число есть вектор

.

6. Длина вектора есть число

.

7. Единичный вектор для вектора есть вектор

.

8. Скалярное произведение векторов и есть число

,

вычисляемое по формуле:

.

9. Проекция вектора на вектор

есть число

.

Аналогично,

.

10. Угол между векторами

и вычисляется по формуле:

.

11. Условие ортогональности двух векторов: векторы и ортогональны () тогда и только тогда, когда

или в координатной форме:

.

12. Условие коллинеарности двух векторов: векторы и коллинеарные () тогда и только тогда, когда

или в координатной форме:

.

13. Направляющие косинусы вектора равны:

, ,

,

где a, b, g – углы между вектором и координатными осями Ox, Oy и Oz соответственно.

14. Векторное произведение векторов и есть вектор , который удовлетворяет трем условиям:

1) , где j – угол между векторами и ;

2) и ;

3) направление вектора таково, что если смотреть с конца вектора , то поворот от к на угол j совершается против часовой стрелки (рис. 8)

и вычисляется по формуле:

.

15. Геометрический смысл векторного произведения: длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (рис. 8), т. е.

.

Площадь треугольника, построенного на этих векторах как на сторонах, равна

.

Рис. 8

16. Смешанное произведение векторов , и есть число , равное скалярному произведению вектора на вектор и вычисляемое по формуле:

.

17. Условие компланарности векторов: три вектора , и компланарны тогда и только тогда, когда

.

18. Геометрический смысл смешанного произведения: смешанное произведение трех векторов , взятое по модулю, численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах (рис. 9), т. е.

.

Объем пирамиды, построенной на этих векторах, равен

.

Рис. 9