Кривые второго порядка

1. Окружностью радиуса R с центром в точке C (a; b) называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до центра С равно R. Каноническое уравнение окружности с центром в точке и радиусом (рис. 1): .

Рис. 1

2. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки F, называемой фокусом и от прямой, называемой директрисой. Если фокус взять в точке , а директрису задать уравнением , где p > 0, то получим параболу (рис. 2), каноническое уравнение которой имеет вид: .

Рис. 2

Если фокусы и директрисы брать тремя другими способами, то получим еще три параболы (табл. 1).

Таблица 1

Уравнение параболы	Фокус	Директриса

3. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек F ₁ и F ₂, называемых фокусами (| F ₁ F ₂| = 2 c) есть величина постоянная, равная 2 a > 2 c.

Каноническое уравнение эллипса (рис. 3):

.

Точки , , и – вершины эллипса; отрезок – большая ось, отрезок – малая ось; параметры и – большая и малая полуоси; точки и – левый и правый фокусы; число – эксцентриситет; и – левый и правый фокальные радиусы. Параметры , и связаны равенством .

Рис. 3

4. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух данных точек F ₁ и F ₂, называемых фокусами (| F ₁ F ₂| = 2 c) есть величина постоянная, равная ± 2 a, где 2 a < 2 c.

Каноническое уравнение гиперболы (рис. 4):

.

Точки и – вершины гиперболы; отрезок – действительная ось, отрезок – мнимая ось; параметры и – действительная и мнимая полуоси; точки и – левый и правый фокусы; число – эксцентриситет гиперболы; левый и правый фокальные радиусы для точек левой ветви гиперболы равны и , а для точек правой ветви гиперболы – это и ; прямые и – асимптоты гиперболы. Параметры , и связаны равенством .

Рис. 4