Інтегральна теорема Лапласа

Знову припустимо, що здійснюється n випробувань, у кожному з яких імовірність появи події А постійна і дорівнює р (0<р<1). Як обчислити ймовірність P_n (k₁, к₂) того, що подія А з'явиться в n випробуваннях не менше k₁ і не більше k₂ разів (для стислості будемо говорити «від k₁ до k₂ разів»)? На це питання відповідає інтегральна теорема Лапласа.

Теорема. Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалеж­них експериментів є величиною сталою і дорівнює , то для великих значень n імовірність появи випадкової події від к₁ до к₂ раз обчислюється за такою асимптотичною формулою:

де та ,

а Ф(х) дорівнюється:

є функцією Лапласа.

Значення Ф(х) знаходять також за таблицею, яка наведена в додатку 2.

Ф(x) є непарною функцією, отже, Ф(–x) = – Ф(x).

Розв’язуючи задачі, додержують такого правила:

, .

Отже, практично функція Лапласа застосовується для значень ,

Приклад 3. Верстат-автомат виготовляє однотипні деталі. Імовірність того, що виготовлена одна деталь виявиться стандартною, є величиною сталою і дорівнює 0,95. За зміну верстатом було виготовлено 800 деталей. Яка ймовірність того, що стандартних деталей серед них буде від 720 до 780 шт.?

Розв’язок. За умовою задачі:

; ; ; ;

.

;

;

Приклад 3. Імовірність появи події в кожному з 100 незалежних випробувань постійна і дорівнює р = 0,8. Знайти ймовірність того, що подія з'явиться: а) не менше 75 разів і не більше 90 разів, б) не менше 75 разів; в) не більше 74 разів.

Розв’язок. Скористуємося інтегральною теоремою Лапласа:

,

де Ф(х) – функція Лапласа,

, .

а) За умовою n=100; p=0,8; q=0,2; . Знайдемо и :

;

.

Враховуючи, що функція Лапласа непарна, тобто , отримаємо

За таблицею додатку 2 знайдемо:

Шукана ймовірність:

б) Вимога, щоб подія з'явилося не менше 75 разів, означає, що число появ події може бути 75 або 76,..., або 100. Таким чином, в розглянутому випадку слід прийняти, к₁=75, к₂=100, тоді

;

.

За таблицею додатка 2 знайдемо

.

Шукана ймовірність:

.

в) Подія – «А з'явилося не менше 75 разів» і «А з'явилося не більше 74 разів» протилежні, тому сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці. Отже, шукана ймовірність

.