Лекция 19 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Определение 1: Последовательность { b_n } называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует номер N, такой, что при n > N выполняется неравенство | b_n |> A.

Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой.

Определение 2: Последовательность { a_n } называется бесконечно малой, если для любого положительного числа e существует номер N, такой, что при n > N выполняется неравенство | a_n |< e.

Теорема 1: Если { b_n } бесконечно большая последовательность и все её члены отличны от нуля (b_n ¹0), то последовательность бесконечно малая, и обратно, если { a_n } бесконечно малая (a_n ¹0), то последовательность бесконечно большая.

Теорема 2: Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малые последовательности.

Следствие: Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3: Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие: Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 4: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Следствие: Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.