Лекция 10 Разложение многочлена на множители

Определение 1: Функция f (x)= A ₀ xⁿ + A ₁ x^{n -1}+ A ₂ x^{n -2}+…+ A_{n -1} x + A_n, где п — целое положительное число, называется многочленом (полиномом) или целой рациональной функцией от х; число п называется степенью многочлена. Здесь коэффициенты A ₀, A ₁,..., А_п — действительные или комплексные числа; независимая переменная х также может принимать как действительные, так и комплексные значения.

Определение 2: Корнем многочлена называется такое значение переменной х, при котором многочлен обращается в нуль.

Теорема 1 (теорема Безу): При делении многочлена f (x) на разность х - а получается остаток, равный f (a).

Следствие: Если а есть корень многочлена, т. е. f (a)=0, то f (x) делится без остатка на х - а и, следовательно, представляется в виде произведения

f (x)=(x - a) f ₁(x), где f ₁(x) — многочлен.

Пример:

Разложим многочлен на множители: f (x)= x ³-2 x ²+3 x -2

Выпишем делители свободного члена: ±1; ±2.

x =1 – корень многочлена, так как f (1)=0.

x ³-2 x ²+3 x -2 | x -1

x ³- x ² x ²- x +2

- x ²+3 x -2

- x ²+ x

2 x -2

2 x -2

f (x)= x ³-2 x ²+3 x -2=(x -1)(x ²- x +2)

Будем рассматривать уравнения с одним неизвестным х.

Определение 3: Всякое число (действительное или комплексное), которое, будучи подставлено в уравнение вместо х, обращает уравнение в тождество, называется корнем уравнения.

Определение 4: Если уравнение имеет вид Q (x) = 0, где Q (x)- многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени п.

Из определения следует, что корни алгебраического уравнения Q (x) = 0 те же, что и корни многочлена Q (x).

Вопрос: Всякое ли уравнение имеет корни?

В случае неалгебраического уравнения ответ отрицателен: существуют такие неалгебраические уравнения, которые не имеют ни одного корня — ни действительного, ни комплексного.

В случае алгебраического уравнения ответ положителен. Этот ответ дается основной теоремой алгебры:

Теорема 2: (основная теорема алгебры). Всякая целая рациональная функция f(x) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный. Эта теорема доказывается в высшей алгебре.

Теорема 3: Всякий многочлен n -й степени разлагается на n линейных множителей вида х - а и множитель, равный коэффициенту при х^п.

или

Каждый многочлен Q (x) может быть представлен в виде произведения:

Q (x)= A ₀(x - а ₁)(x - а ₂)…(x - а_n),

где A ₀ — коэффициент при старшей степени многочлена Q (x), а а ₁, а ₂, …, а_n - корни уравнения Q (x)=0.

Множители (x - а ₁), (x - а ₂), …, (x - а_n) называются элементарными множителями.

Многочлен п-й степени не может иметь более чем п различных корней.

Виды многочленов: