Кафедра высшей математики и информатики

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ПО МАТЕМАТИКЕ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

САМАРА 2006

СОДЕРЖАНИЕ

1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 3

1.1. Статистическое определение вероятности. 3

1.2. Пространство элементарных событий. 3

1.3. Действия на событиями. 4

1.4. Элементы комбинаторики. 5

1.4.1. Перестановки. 5

1.4.2. Размещения. 5

1.4.3. Сочетания. 6

1.5. Классическое определение вероятности. 6

1.6. Формула сложения вероятностей для несовместных событий. 7

1.7. Формула сложения вероятностей для произвольных событий. 7

1.8. Формула умножения вероятностей. 8

1.9. Формула полной вероятности. 10

1.10. Формула вероятностей гипотез (Байеса). 11

1.11. Повторение опытов. 12

1.11.1. Схема Бернулли. 12

1.11.2. Асимптотическая формула Муавра – Лапласа. 14

1.11.3. Асимптотическая формула Пуассона. 15

1.12. Случайные дискретные величины. 15

1.13. Случайные непрерывные величины. 16

1.14. Функция плотности вероятности случайной непрерывной величины. 17

1.15. Числовые характеристики случайных величин. 18

1.15.1.Мода случайных величин. 18

1.15.2. Квантили случайных величин. 19

1.15.3. Математическое ожидание случайных величин. 19

1.15.4. Среднеквадратичное отклонение и дисперсия случайных величин. 20

1.15.4. Моменты случайных величин. 21

1.16. Теоремы о числовых характеристиках случайных величин. 23

1.17. Законы распределения случайных величин. 24

1.17.1. Биномиальный закон распределения. 24

1.17.2. Закон распределения Пуассона. 25

1.17.3. Равномерный закон распределения. 26

1.17.4. Нормальный закон распределения. 27

1.17.5. Экспоненциальный закон распределения. 30

1.17.6. Гамма – распределение. 31

1.18. Системы случайных величин. 33

1.18.1. Система двух случайных дискретных величин. 34

1.18.2. Система двух случайных непрерывных величин. 35

1.18.3. Условные законы распределения. 37

1.18.4. Числовые характеристики системы двух случайных величин. 39

1.18.5. Система нескольких случайных величин. 41

1.18.6. Нормальный закон распределения системы двух случайных величин. 43

1.19. Предельные теоремы теории вероятностей. 45

1.19.1. Неравенство Чебышева. 45

1.19.2. Закон больших чисел. 46

1.19.3. Центральная предельная теорема. 47

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. 47

2.1. Основные задачи математической статистики. 47

2.2. Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения. 48

2.3. Статистический ряд. Гистограмма. 49

2.4. Числовые характеристики статистического распределения. 51

2.5. Выбор теоретического распределения по методу моментов. 52

2.6. Проверка правдоподобия гипотезы о виде закона распределения. 55

2.7. Критерии согласия. 56

2.8. Точечные оценки для неизвестных параметров распределения. 59

2.9. Оценки для математического ожидания и дисперсии. 59

2.10. Доверительный интервал. Доверительная вероятность. 62