Задача 11. Разложить в степенной ряд Тейлора функцию: при

Разложить в степенной ряд Тейлора функцию: при .

Рядом Тейлора для функции в окрестности точки называется степенной ряд относительно двучлена вида

.

Формально ряд Тейлора можно написать для всякой функции, которая в окрестности точки имеет производные любого порядка. Однако этот ряд будет сходиться в породившей его функции только при тех значениях , при которых остаточный член формулы Тейлора для этой функции при неограниченном возрастании стремится к нулю.

При ряд Тейлора есть степенной ряд относительно независимой переменной :

,

который принято называть рядом Маклорена.

Для разложения данной функции в ряд Тейлора нужно:

а) написать ряд Тейлора для данной функции, т.е. вычислить значения этой функции и ее производных при и подставить их в общее выражение ряда Тейлора для произвольной функции;

б) исследовать остаточный член формулы Тейлора для данной функции и определить совокупность значений , при которых полученный ряд сходится к данной функции (т.е. при которых ).

Для многих функций, употребляемых в практических применениях математического анализа, интервал сходимости ряда Тейлора полностью совпадает с совокупностью тех значений , при которых соответствующий остаточный член , когда , т.е. для многих функций каждая точка сходимости ряда Тейлора является и точкой сходимости этого ряда к породившей его функции. Поэтому при разложении многих функций в ряд Тейлора можно вместо исследования соответствующего остаточного члена , что во многих случаях весьма затруднительно, исследовать сходимость самого ряда Тейлора, как обычного степенного ряда.

Решение. а) Вычисляем значения данной функции и ее производных при :

......................................................................

......................................................................

Подставляя эти значения в ряд Тейлора для произвольной функции, получим

б) Исследуем сходимость полученного ряда по признаку Даламбера:

; .

; , если .

Решая это неравенство, находим интервал . Границы этого интервала исследуем особо. Подставляяв ряд , затем , получим числовые ряды и , которые расходятся, так как у них не выполняется необходимое условие сходимости ряда .

Следовательно, интервал сходимости полученного ряда Тейлора для данной функции есть . Исследуя остаточный член формулы Тейлора для данной функции, можно убедиться, что в указанном интервале полученный ряд сходится именно к данной функции.

Литература

1. Гусак А.А. Высшая математика. – Минск, 1998. – Т.1-2.

2. Кремер П.Ш. Высшая математика для экономистов. – М., 1999.

3. Щипачев В.С. Высшая математика. – М., 1998.

4. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. – М., 1999.

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. – Т.1-2.

6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. – М. – Т.1-2.

[1] В частности, если , то – многочлен; а если есть постоянная (многочлен нулевой степени), то – показательная функция .

[2] Нижним пределом интеграла может быть любое положительное число из области определения .