Задача 7. Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка:

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка:

.

1) Уравнение -го порядка решается последовательным интегрированием.

Умножая обе его части на и интегрируя, получаем уравнение -го порядка:

Снова умножая обе части на и интегрируя, получаем уравнение -го порядка:

и т. д.

После -кратного интегрирования получаем общий интеграл этого уравнения в виде явной функции от и произвольных постоянных:

.

2) Уравнения 2-го порядка:

и

,

не содержащие явно функции или аргумента , преобразуются в уравнения 1-го порядка посредством подстановки , откуда

– для уравнения

или

– для уравнения .

Решение. Данное уравнение 2-го порядка не содержит явно функции . Полагая , получим и после постановки данное уравнение обращается в уравнение 1-го порядка:

.

Разделяя переменные и интегрируя, найдем ;

; ; .

Заменяя вспомогательную переменную через , получим уравнение , решая которое найдем искомый общий интеграл:

;

.