Задача 3. Вычислить определенный интеграл:

Вычислить определенный интеграл: .

Для вычисления определенного интеграла используют формулу Ньютона–Лейбница

.

Для интегрирования по частям применяется формула:

.

Если определенный интеграл преобразуется заменой [или ], то старые пределы и необходимо заменить новыми пределами и , которые определяются из исходной подстановки, т.е. из уравнений , [или , ]:

.

Решение:

Проводим замену переменной в определенном интеграле: .

Дифференцируя обе части равенства, получаем откуда . В определенном интеграле в отличие от неопределенного, при замене переменной, необходимо найти новые пределы интегрирования:

если , то ; если , то . Тогда получаем

.