Задача 6. Найти общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:

Найти общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:

.

Если в уравнении 1-го порядка коэффициенты и удовлетворяют условию , то его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции . Такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

Записав такое уравнение в виде , и найдя первообразную функцию , получим общий интеграл этого уравнения, полагая .

Решение. Вначале убеждаемся, что данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах:

; ;

Затем находим неопределенные интегралы:

, считая постоянной;

, считая постоянной.

Беря все известные члены из первого результата и дописав к ним недостающие члены, зависящие только от , из второго результата, получим функцию

,

полным дифференциалом которой является левая часть данного дифференциального уравнения, а приравняв ее произвольной постоянной, получим искомый общий интеграл данного уравнения: