Задача 5. Найти общее решение линейного уравнения:

Найти общее решение линейного уравнения: .

Уравнение вида , где и известные функции от , линейное (первой степени) относительно функции и ее производной называется линейным.

Посредством замены функции произведением двух вспомогательных функций линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно каждой из вспомогательных функций.

Уравнение Бернулли , отличающееся от линейного уравнения тем, что в правую часть входит множителем некоторая степень функции , решается так же, как и линейное. Посредством подстановки оно также сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными.

Решение. Убедившись, что данное уравнение линейное, полагаем ; тогда и данное уравнение преобразуется к виду

или

Так как одну из вспомогательных функций или можно взять произвольно, то выберем в качестве какой-либо частный интеграл уравнения .

Тогда для отыскания получим уравнение .

Решая первое из этих уравнений, найдем ; разделяя переменные и интегрируя, найдем его простейший, отличный от нуля частный интеграл:

; ; .

Подставляя во второе уравнение и решая его, найдем как общий интеграл этого уравнения:

; ; .

Зная и , находим искомую функцию :