Задача 9. Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка

и схематически изобразить эту поверхность.

Решение. В нашем примере матрица квадратичной формы имеет вид:

.

Характеристические числа матрицы определяются из уравнения:

которое приводится к виду

Отсюда

При получаем систему уравнений:

Найдем ранг этой системы:

Второе и третье уравнения являются линейно зависимыми; отбросим второе уравнение:

Собственный вектор, соответствующий характеристическому числу , . Нормируем вектор

Находим собственный вектор, соответствующий второму характеристическому числу :

Определим ранг системы:

Собственный вектор . Нормируем собственный вектор Находим собственный вектор, соответствующий характеристическому числу :

Определим ранг системы:

Собственный вектор . Нормируем собственный вектор .

Полученные собственные нормированные векторы попарно ортогональны:

Матрица преобразования координат имеет вид:

, .

Отсюда

Квадратичная форма в новой системе координат имеет вид . В результате уравнение поверхности будет . Это уравнение эллиптического цилиндра с образующими, параллельными оси . В системе координат строим собственные нормированные векторы . Определяем направление осей системы координат , выполняем построение поверхности (рис. 3).

Рис. 3

Литература

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч.1. – М., 1997.

2. Гусак А.А. Высшая математика. – Минск, 1998. – Т.1-2.

3. Кремер П.Ш. Высшая математика для экономистов. – М., 1999.

4. Щипачев В.С. Высшая математика. – М., 1998.

5. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. – М., 1999.

6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. – М. – Т.1-2.

7. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.