Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка

и построить эту кривую.

Решение. Запишем матрицу квадратичной формы

.

Используем собственные нормированные ортогональные векторы:

и

для построения матрицы преобразования :

.

Чтобы сохранить взаимную ориентацию новых координатных осей, на матрицу налагают дополнительное условие (если , то достаточно поменять столбцы местами и сменить соответственно нумерацию у характеристических чисел и собственных векторов).

Квадратичная форма в новой системе координат имеет вид:

.

Преобразуем линейную функцию данного уравнения

В системе координат уравнение кривой имеет вид:

Совершаем параллельный перенос:

В результате уравнение кривой принимает вид: Это уравнение эллипса. В системе координат строим векторы и и определяем направление осей координат . Центр эллипса в системе в точке (рис.2).

Рис. 2