Задача 7. Даны две системы векторов:

Даны две системы векторов:

1) ;

2) .

Определить, какая из этих систем образует базис; разложить вектор по этому базису.

Решение. Используем признак линейной независимости для векторов с числовыми координатами. Найдем определитель:

, следовательно, система векторов линейно независима и образует базис.

Вычислим определитель для второй системы:

Система линейно зависима.

Проведем разложение вектора по базису . Запишем разложение вектора в координатной форме:

Получаем систему линейных уравнений:

Систему можно решать любым методом. Решим методом последовательного исключения неизвестных:

Итак, координаты вектора в новом базисе будут , а разложение вектора по базису имеет вид .