Задача 2. Решить систему линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных Гаусса

Решить систему линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных Гаусса. Найти общее, частное, базисное решения системы:

Решение. Выписываем расширенную матрицу:

За базисную переменную рекомендуется выбирать ту неизвестную, коэффициент при которой равен единице (во избежание дробных коэффициентов). Оставим без изменения третье уравнение (строку), а за базисную переменную примем . Воспользуемся элементарными преобразованиями, а именно: умножим третью строку на (-1) и сложим со второй, затем умножим третью же строку на (-3) и сложим с первой. Тогда останется только в третьем уравнении (строке):

Оставим без изменения первую строку, переменную примем за базисную и исключим ее из третьей строки (во вторую строку не входит):

Во второй строке переменную принимает за базисную и исключаем из остальных строк:

В результате получаем систему с базисными переменными , , :

Выражая базисные переменные через остальные (их называют свободными переменными), получим общее решение системы:

Давая свободным переменным произвольные значения, получаем множество частных решений, например:

Частное решение, в котором все свободные переменные равны нулю, называют базисным решением: