Задача 5. Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы выполнить двумя способами: с помощью алгебраических дополнений и путем элементарных преобразований.

Решение. В матричной форме систему линейных уравнений можно записать так: , где – матрица коэффициентов системы; – матрица-столбец неизвестных; – матрица-столбец свободных членов. Умножив слева обе части равенства на ( существует, если ), получим

,

здесь – единичная матрица.

Следовательно, чтобы найти решение системы линейных уравнений с неизвестными при помощи обратной матрицы, нужно матрицу, обратную матрице из коэффициентов системы, умножить на матрицу-столбец свободных членов. В результате получаем матрицу-столбец, которая и будет решением данной системы.

Найдем определитель матрицы

, следовательно, матрица обратима.

Первый способ вытекает из формулы, выражающей обратную матрицу

где – алгебраические дополнения элементов данной матрицы.

Найдем алгебраические дополнения для элементов данной матрицы:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Обратная матрица имеет вид:

Необходимо сделать проверку: .

Найдем решение системы

Второй способ основан на элементарных преобразованиях вспомогательной матрицы, которая получается путем приписывания к данной матрице единичной матрицы того же порядка. Схематически этот процесс записывается так:

Решение: