Математичне сподівання функції випадкового вектора

Сформулюємо результат, в якому формули (1) та (2) містяться як окремі випадки.

Теорема 1. Якщо відомий розподіл випадкового вектора , то математичне сподівання випадкової величини Z=g (X, Y) знаходиться за формулою

(4)

Зокрема, якщо випадкова величина g (X, Y) дорівнює X, Y, X+Y, X·Y приходимо до формул (формули записані лише для випадку неперервних випадкових величин):

(5)

(6)

. (7)

Із формул (5)–(7) виходять такі властивості математичного сподівання.

Теорема 2. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань

M (X+Y) =MX+MY. (8)

Доведення. Скористаємося лінійністю інтеграла у формулі (6) а потім формулами (5).

Теорема 3. Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин X та Y дорівнює добутку математичних сподівань цих випадкових величин

M (X · Y) =MX · MY. (9)

Доведення. Оскільки випадкові величини X та Y незалежні, то . У цьому випадку інтеграл у формулі (6) розпадається на добуток інтегралів, один із яких згідно з формулою (1) є MX, а другий – MY.

Зауваження. Із справедливості співвідношення (9) не випливає незалежність випадкових величин X та Y. Дійсно, нехай, Y=X ².

Тоді MX= (–1)·1/2+1·1/2 = 0,

MY=M (X ²) = 1·1/2+1·1/2 = 1, M (X · Y) =M (X ³) = (–1)·1/2+1·1/2 = 0.

Таким чином, M (X · Y) =MX · MY, але випадкові величини X та Y залежні не тільки в імовірнісному сенсі, а і функціонально.

Приклад 1. Знайти математичне сподівання випадкової величини X, яка має біноміальний розподіл (розділ 2.1, формула (4)).

Розв’язок. Будемо розглядати X, як кількість появ події A у серії з n незалежних випробувань з імовірністю p появи в кожному з них. Позначимо через X_i (i= 1,..., n) кількість появ події A у i -му випробуванні. Тоді X=X ₁+ X ₂+...+ X_n і на підставі (8) одержимо: MX=MX ₁+ MX ₂+...+ MX_n. Оскільки величини X_i мають однаковий розподіл, то на підставі результату прикладу 1 пункту 3.1.2, одержимо MX=n · MX_n=n · p. Звідси випливає, що математичне сподівання частоти X/n появ події A дорівнює M (X/n) = .

Приклад 2. В теорії масового обслуговування зустрічається випадкова величина h, що є сумою n незалежних випадкових величин, кожна з яких розподілена за показниковим законом з параметром l. Знайти математичне сподівання випадкової величини h.

Розв’язок. Враховуючи результат прикладу 3 пункту 3.1.2, на підставі формули (8) будемо мати M h =n/ l.

Закон розподілу величини h – закон Ерланга n– 1-го порядку (пункт 2.2.4, наслідок 2).