Дисперсія випадкової величини та її властивості

Після того, як математичне сподівання випадкової величини знайдено, виникає питання, наскільки сильно значення випадкової величини від­хиляється від математичного сподівання. Характеристикою ступеня розсіювання випадкової величини навколо математичного сподівання є математичне сподівання квадрата флуктуації випадкової величини (математичне сподівання флуктуації не придатне, тому що воно завжди дорівнює нулю). Інколи в якості характеристики розсіювання випадкової величини використовують математичне сподівання абсолютної величини її флуктуації.

Означення 1. Дисперсією випадкової величини називається невід’ємне число

DX=M ()². (1)

Розмірність дисперсії дорівнює квадрату розмірності випадкової величини. Тому вводять також величину , що називається середнім квадратичним (стандартним) відхиленням, вимірність якої співпадає з вимірністю випадкової величини.

Чим менше s _X (DX), тим тісніше групуються значення випадкової величини навколо її математичного сподівання.

Дисперсія допускає важливе математичне тлумачення. Нехай i – сила струму, що проходить через резистор з опором 1 Ом. Тоді потужність, яка виділяється флуктуаційною складовою струму дорівнює , а її середнє значення M . Таким чином, дисперсія струму дорівнює середній потужності, яка виділяється флуктуаційною складовою струму на резисторі з одиничним опором.

При знаходженні дисперсії, як правило, використовують не формулу (1), а інший вираз, який одержується з правої частини цієї формули на підставі властивостей математичного сподівання:

Таким чином,

(2)

Якщо X=Y, то кореляційний момент дорівнює дисперсії K (X, X) =DX. Запишемо формулу (2) у розгорнутому вигляді

(2´)

Із формули (1) випливає, при сталих k і l, важлива властивість дисперсії

D (kX+l) =k ² DX. (3)

Дійсно, з урахуванням властивостей математичного сподівання, одержимо

D (kX+l) = =k ²· DX.

Зокрема, дисперсія константи (сталої величини) дорівнює нулю.

Приклад 1. При умові прикладу 1 пункту 3.1.2 знайти дисперсію випадкової величини X.

Розв’язок. Із прикладу 1 пункту 3.1.2 маємо MX=p. Оскільки то MX ² = 0·(1– p)+1· p=p і на підставі формули (2) одержимо

DX=p– p ² =p· (1– p).

Приклад 2. Знайти дисперсію випадкової величини X, розподіленої за законом Пуассона (розділ 2.1, формула (5)).

Розв’язок.

(тут двічі використане розкладання експоненти у ряд ). Було показано (приклад 2 пункту 3.1.2), що MX= l. Отже, DX= l²+l–l² = l – параметр закону Пуассона співпадає як з математичним сподіванням, так і з дисперсією.

Приклад 3. Знайти дисперсію випадкової величини X, розподіленої: 1) рівномірно в проміжку [ c; d ]; 2) за показниковим законом з параметром l; 3) за законом Гауса з параметрами a і s²; 4) за законом Релея з параметром s².

Розв’язок. При розв’язанні будуть використані формули (2) та (1) і також результати пункту 3.1.2 (приклади 3,4, наслідки теореми 1).

1) ;

2)

3)

Таким чином, параметрами закону Гауса N (a;s²) є математичне сподівання a і дисперсія s²;

4)

Отже, .

Випадкова величина X називається нормованою, якщо MX= 0, DX= 1. Прикладом нормованої випадкової величини є випадкова величина . Дійсно,

Приклад 4. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини c _n ² (c²‑розподілом з n степенями свободи).

Розв’язок. c _n ² =X ₁²+ X ₂²+...+ X_n ², де X_i - незалежні та розподілені за законом Гауса N (0;1). Використовуючи властивості математичного сподівання та дисперсії, одержимо:

M c _n ² =M (X ₁²)+...+ M (X_n ²) =nM (X_i ²), D c _n ² =D (X ₁²)+...+ D (X_n ²) =nD (X_i ²).

Оскільки DX_i=M (X_i ²)–(MX_i)², то M (X_i ²) =DX_i+ (MX_i)² = 1,

D (X_i ²) =M (X_i ⁴)–(M (X_i ²))² =M (X_i ⁴)–1. Отже M c _n ² =n. Залишилось знайти величину

Тому = 3–1 = 2 і остаточно D c _n ² = 2 n.

Зауваження. Для знаходження математичного сподівання і дисперсії нелінійної функції f (X) часто користуються наближеними формулами:

Mf (X)» f (MX),

Df (X)» | f ´ (MX)|² · DX.

Ці формули тим точніші, чим менше f (X) функція відрізняється від лінійної. Для лінійної функції f (X) =kX+l наведені формули є точними.