Дисперсія суми випадкових величин

Теорема. 1) Якщо випадкові величини X та Y корельовані (отже, залежні), то

D (X+Y) =DX+DY+ 2 K (X, Y); (4)

2) Якщо випадкові величини X та Y незалежні (отже, некорельовані), то

D (X+Y) =DX+DY. (5)

Доведення.

1) D (X+Y) = =

=DX+DY +2 K (X, Y);

2) незалежність Þ K (X, Y) = 0.

Рівність (5) має місце для будь-якого скінченого числа незалежних (отже, попарно некорельованих) випадкових величин:

D (X ₁+ X ₂+...+ X_n) =DX ₁+ DX ₂+...+ DX_n. (5´)

Зокрема, якщо всі випадкові величини X_i мають однаковий розподіл і незалежні, то D (X ₁+ X ₂+...+ X_n) =nDX ₁ і внаслідок цього

.

Останній результат означає, що при великій кількості незалежних вимірювань (випробувань) середнє арифметичне результатів спостереження буде близьким до вимірюваної величини.

Приклад 1. Нехай випадкові величини X ₁,..., X_n незалежні і однаково розподілені (зокрема, MX_i=a, DX_i= s² (i= 1,..., n)).Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини .

Розв’язок. Використовуючи властивості математичного сподівання (формули (3) і (6) розділу 3.1) і дисперсії (формули (3) і (5)) одержимо

(тут незалежність випадкових величин не грає ніякої ролі),

.

Таким чином, відхилення випадкової величини від математичного сподівання a із зростанням n спадає, при цьому її значення = (x ₁+ x ₂+…+ x_n) ⁄n (середнє арифметичне результатів спостережень) приблизно дорівнює a.

Приклад 2. Знайти дисперсію випадкової величини X - кількості появ події A у серії з n незалежних випробувань.

Розв’язок. Застосуємо метод, використаний при розв’язанні прикладу 1 пункту 3.1.4, використаємо (5‘) і результат прикладу 1 пункту 3.2.1. Оскільки X=X ₁+ X ₂+...+ X_n, де незалежні випадкові величини X_i приймають значення 0,1 з імовірностями відповідно 1– p, p, то DX=DX ₁+ DX ₂+...+ DX_n= =nDX ₁ = np (1– p). Звідси випливає, що дисперсія частоти X/n появ події A така

.

Приклад 3. В умовах прикладу 2 пункту 3.1.4 знайти дисперсію випадкової величини h.

Розв’язок. На підставі (5‘) і результату прикладу 3 пункту 3.2.1 D η =n ∕ λ².

Приклад 4. В умовах прикладу 1 знайти математичне сподівання випадкової величини .

Розв’язок. Перетворимо суму до зручного для обчислень вигляду:

Тому

і, таким чином,

.

Можна показати, що D (S ²) із зростанням n прямує до нуля. З урахуванням одержаного вище результату, це означає, що числа , які є значеннями випадкової величини S ² у конкретних серіях вимірювань, групуються навколо числа s².

Приклад 5. Нарівні з середнім квадратичним відхиленням мірою розсіювання випадкової величини є також середнє відхилення d - математичне сподівання модуля флуктуації:

.

Знайти середнє відхилення випадкової величини X~N (a;s²).

Розв’язок.