Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Закон розподілу суми випадкових величин



Теорема. Нехай випадкові величини X та Y незалежні та мають щільності ймовірностей pX (x) і pY (y). Тоді щільність ймовірності випадкової величини Z=X + Y є згорткою щільностей ймовірності доданків

. (12)

Наслідки. 1) Якщо випадкові величини Xi незалежні і Xi ~ N (ai;si2), то X 1+...+ Xn ~ N (a 1+...+ an; s12+...+sn2).

2) Якщо випадкові величини Xi незалежні і розподілені за показниковим законом з параметром l, то їх сума h= X 1+...+ Xn розподілена за законом Ерланга n–1-го порядку з параметром l

. (13)

3) Сума двох незалежних випадкових величин, розподілених за законом Пуассона з параметрами l1 і l2, розподілена за законом Пуассона з параметром l1+l2.

Виняткова роль розподілу Гауса може бути пояснена таким чином: якими б не були закони розподілу незалежних доданків, закон розподілу суми буде близьким до гаусевого, якщо вклади кожного з доданків у суму приблизно одинакові і число доданків достатньо велике. Так, наприклад, помилка вимірювання породжується спільною дією великого числа причин; розподіл цих помилок добре узгоджується з законом Гауса.

Точне формулювання приведеного вище твердження складає зміст знаменитої центральної граничної теореми, у розробці якої одну з головних ролей зіграв видатний математик професор Харківського університету академік О.М.Ляпунов. Виявилось, що основну умову цієї теореми – припущення про незалежність доданків – можна суттєво послабити. Цей напрямок бере початок від іншого видатного математика професора Харківського університету академіка С.Н.Бернштейна. Йому належить також і перша за часом аксіоматика теорії ймовірностей (1917р).

Приклад 1. Літак розраховано на чотирьох пасажирів або вантаж вагою не більше 360 кг. Припустимо, що вага пасажирів є випадковою величиною, розподіленою за законом Гауса N (75 кг; 256 кг2). Як часто літак буде перевантаженим, якщо на борт береться чотири пасажири.

Розв’язок. Позначимо через Xi (i= 1,...,4) вагу i -го пасажира. Оскільки випадкові величини Xi незалежні, то на підставі наслідку 1) одержимо

X= X 1+ X 2+ X 3+ X 4~ N (300 кг; 1024 кг2).

Застосуємо формулу (10) розділу 2.1:

.

Таким чином, тільки в трьох рейсах із ста очікується перевантаження літака.





Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 399 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...