Математичне сподівання випадкової величини

Означення 1. Математичним сподіванням випадкової величини X називається число MX, яке в залежності від типу випадкової величини визначається формулою

(1)

Математичне сподівання дає уяву про розташування значень випадкової величини.

Розмірність математичного сподівання MX співпадає з розмірністю випадкової величини X.

Приклад 1. Нехай подія A з’являється у випробуванні з імовірністю p. Знайти математичне сподівання числа появ події A в даному випробуванні.

Розв’язок. Позначимо число появ події A у випробуванні через X. Величина X – випадкова, приймає свої значення 0 і 1 з імовірностями 1– p та p. Тоді на підставі формули (1) (верхній рядок) одержимо

MX= 0·(1– p)+1· p.

Приклад 2. Знайти математичне сподівання випадкової величини X, розподіленої по закону Пуассона з параметром l (розділ 2.1, формула (5)).

Розв’язок. Оскільки (k= 0,1,...), то згідно з формулою (1) маємо

.

Приклад 3. Знайти математичне сподівання випадкової величини X, розподіленої за показниковим законом з параметром l (розділ 2.1, формула (8)).

Розв’язок. На підставі формули (1) (нижній рядок) одержимо

.

Звідси виходить, що середній проміжок часу T між двома послідовними відмовами апаратури дорівнює 1/l, якщо тривалість проміжку часу між двома послідовними відмовами апаратури розподілена за показниковим законом з параметром l. З цієї причини показниковий розподіл у теорії надійності записується у вигляді

,

де T ₀ ‑ середній час роботи до відмови.

При обчисленні математичного сподівання доцільно використовувати такий результат.

Теорема 1. Якщо розподіл випадкової величини X симетричний відносно прямої x=x ₀, то MX=x ₀ (мал.3.1).

Наслідки: 1) Математичне сподівання випадкової величини, розподіленої по закону Гауса N (a; s²), дорівнює a.

2) Математичне сподівання рівномірного у проміжку [ c; d ] розподілу дорівнює (c+d)/2.

3) Математичне сподівання випадкової величини, розподіленої за законом Стьюдента t _n, дорівнює 0.

Приклад 4. Знайти математичне сподівання випадкової величини, розподіленої за законом Релея з параметром s² (розділ 2.2, формула (11)).

Розв’язок. За формулою (1) маємо

.