Кореляційний момент випадкових величин

Означення 1. Кореляційним моментом (кореляцією, коваріацією) K (X, Y) випадкових величин X та Y називається число

K (X, Y) =M . (10)

Ця величина має розмірність, що дорівнює добутку розмірностей випадкових величин X та Y. Скориставшись властивостями математичного сподівання, можна привести формулу (10) до вигляду

K (X, Y) =M (X·Y)– MX·MY. (11)

Випадкові величини називаються корельованими при K (X, Y)¹0 і некорельованими при K (X, Y) = 0. Якщо випадкові величини незалежні, то із (9) виходить, що K (X, Y) = 0 – із незалежності випадкових величин випливає їх некорельованість. Якщо K (X, Y)¹0, то випадкові величини є залежними ‑ із корельованості випадкових величин випливає їх залежність. Однак, із K (X, Y) = 0 не випливає незалежність випадкових величин – із некорельованості випадкових величин не випливає їх незалежність. Приклад таких величин приведено в зауваженні до теореми 3 пункту 3.1.4. Отже,

Приклад 1. Знайти кореляційний момент координат випадкового вектора, заданого таблицею:

Розв’язок. За формулами (5) та (7) знаходимо

Тоді за формулою (11) одержимо

K (X, Y) = 3.5–2.2·1.6 = – 0.02.

Приклад 2. Випадковий вектор рівномірно розподілений в області D {(x; y): 0< y < x ², 0< x <1} (мал.3.2). Знайти коре­ляційний момент його координат.

Розв’язок. Площа області D дорівнює . Отже, , якщо (x; y)Î D. Тому на підставі формул (5), (7), (11) маємо: