Найважливіші види двовимірних розподілів

1) Рівномірний розподіл. Випадковий вектор називається рівномірно розподіленим у області D, якщо

S - площа області D.

Якщо двовимірний вектор рівномірно розподілений у прямокутнику зі сторонами, паралельними осям координат, то координати X та Y будуть незалежними рівномірно розподіленими випадковими величинами. Наведемо приклад залежних величин, які самі і у сукупності розподілені рівномірно.

Приклад 1. Нехай випадковий вектор рівномірно розподілений в області D=D ₁È D ₂ (мал. 2.19). Знайти щільності ймовірності координат вектора.

Розв’язок. Сума площ фігур D ₁ і D ₂ дорівнює 1/2 (половина площі квадрата із стороною 1) і тому

На підставі умов узгодженості (формула (5) розділ 2.2), маємо

Таким чином, випадкова величина X рівномірно розподілена на відрізку [0;1]. Аналогічно доводиться, що випадкова величина Y також рівномірно розподілена на відрізку [0;1]. Оскільки ¹ p_X (x)× p_Y (y), то випадкові величини X та Y будуть залежними.

Приклад 2. Випадкові величини X та Y незалежні і розподілені рівномірно у проміжку [0;1]. Знайти ймовірність того, що корені квадратного рівняння Xx ² +x+Y= 0дійсні.

Розв’язок. Невід’ємність дискримінанта рівносильна умові X·Y . Вектор рівномірно розподілений у квадраті D{(x; y): 0£ x£1, 0£ y£1} і тому Таким чином,

.

Область інтегрування D ₁ розташована у квадраті D вище гіперболи xy= 1/4 (див.мал.2.20).

2) Двовимірний нормальний розподіл. Випадковий вектор називається розподіленим за нормальним законом (законом Гауса) з параметрами a₁, a₂, s₁², s₂², r, якщо його щільність розподілу має вигляд:

, (9)

де | r |<1, s₁>0, s₂>0.

При r= 0 із (9) одержуємо двовимірний закон Гауса в найпростішій формі

. (10)

Функція , визначена рівністю (9), набуває максимального значення у точці (a₁;a₂), яка називається центром розсіювання, і постійне значення на еліпсах

.

Ці еліпси, що називаються еліпсами рівної ймовірності або еліпсами розсіювання, дають уявлення про форму повер­хні . При r= 0 і s₁=s₂ еліпси перетворюються в кола, а при | r |»1 стають «витягнутими» і «тон­кими». Біль­ша вісь еліпса повернута на кут відносно осі Ox (мал.2.21).

З розподілу (9) виходить, що випадкові величини X та Y розподілені за законами Гауса X ~ N (a ₁;s₁²) та Y ~ N (a ₂;s₂²). Проте, добуток цих законів дає не розподіл (9), а (10). Тому координати двовимірного випадкового вектора, розподіленого за законом Гауса у найпростішій формі, є незалежними випадковими величинами, а за законом Гауса у загальній формі – залежними. Умовні щільності ймовірності також є Гаусовими. Наприклад, умовна ймовірність

співпадає з .

Ймовірність попадання випадкового вектора в область ефективно може бути знайдена тоді, коли r = 0 і область D є прямокутником з сторонами, паралельними осям координат, або коли D ‑ область, обмежена еліпсом розсіювання.

Приклад 3. Гармата обстрілює злітно-посадочну смугу шириною 60м та довжиною 200м. Координати точки попадання снаряда по відношенню до системи координат, осі якої направлені вздовж та поперек смуги, а початок знаходиться у її центрі (мал.2.22), розподілені за законом

.

Знайти ймовірність попадання у смугу при одному пострілі.

Розв’язок. (Випадкові величини X та Y незалежні). Оскільки X ~ N (1м; 25² м²), Y ~ N (–20м; 65² м²), то на підставі формули (10) розділу 2.1 одержуємо

.

Отже, ймовірність попадання у смугу дорівнює 0.66.

3) Розподіл Релея. Нехай випадковий вектор розподілений за законом Гауса у найпростішій формі (10) з параметрами a₁ = a₂ = 0, s₁² = s₂² = s².

Тоді випадкова величина – відстань від точки (X; Y) до початку координат – розподілена за законом Релея з параметром s² (графік щільності приведено на мал.2.23):

. (11)

Розподіл Релея виникає у такій важливій задачі. Розглянемо гармонічні коливання з періодом T:

.

Як відомо з курсу елементарної математики (фізики), такі коливання можна зобразити у вигляді

.

Нехай X та Y незалежні випадкові величини, розподілені за законом Гауса N (0;s²). Тоді виявляється, що амплітуда та початкова фаза коливань j будуть незалежними випадковими величинами. При цьому амплітуда буде мати релеєвський розподіл з параметром s², а початкова фаза буде рівномірно розподілена у проміжку [0;2p).

У тому випадку, коли випадковий вектор розподілений за законом Гауса у найпростішій формі (10) з параметрами a₁, a₂, s₁² = s₂² = s², випадкова величина виявляється розподіленою за законом Райса

,

де I ₀(x) = . При великих значеннях закон Райса є близьким до нормального .

4) Розподіли c² (Пірсона), t (Стьюдента) та F_n,m (Фішера). Ці розподіли будуть використовуватися у главі 5.

Нехай випадкові величини X ₀, X ₁, X ₂,..., X_n є незалежні та розподілені за законом Гауса N (0;1). Розподіл випадкової величини c _n ² =X ₁²+ X ₂²+...+ X_n ² називається c²‑розподілом (хі-квадрат розподілом) з n степенями свободи. Щільність ймовірності випадкової величини c _n ² задається співвідношенням (графік щільності приведено на мал.2.24)

,

де стала K_n визначається умовою нормування. Зокрема, випадкова величина c₁² = X ₁² має щільність ймовірності

.

Цей результат уже приводився в прикладі 3 пункту 2.1.4.

Розподіл випадкової величини називається t‑ розподілом (розподілом Стьюдента) з n степенями свободи. Щільність ймовірності випадкової величини t_n задається співвідношенням (графік щільності приведено на мал.2.25):

,

де стала L_n визначається умовою нормування.

Графік щільності є симетричним відносно прямої x=0 і подібний до графіка щільності нормального розподілу N (0;1). Із зростанням кількості ступенів свободи n розподіл Стьюдента наближається до нормального з параметрами a= 0, s² = 1. В таблиці 2 додатка приведені значення t _e(n), які задовольняють рівності

.

Ці значення більші, ніж значення d_e, що є коренями рівняння 2Ф(d_e) = 1–e. Але із зростанням кількості ступенів свободи t _e(n) наближається до d_e. Наприклад, для e = 0.05 маємо t _0.05(5) = 2.5706, t _0.05(10) = 2.2281, t _0.05(20) = 2.0960, t _0.05(+¥) = d_0.05 = 1.963 (мал.2.26).

Розглянемо випадкову величину , де і – незалежні випадкові величини, розподілені за законом χ² відповідно з n та m ступенями свободи. Розподіл випадкової величини F_{n , m} називається розподілом Фішера з n та m ступенями свободи. Щільність цього розподілу має вигляд

,

де стала A знаходиться із умови нормування.