Перетворення розподілів

Нехай розподіл випадкової величини X є відомим. Потрібно знайти розподіл випадкової величини Y, яка пов’язана з функціональною залежністю Y=g (X) (Y приймає значення g (x), коли X приймає значення x).

1) Випадкова величина X є дискретною. Тоді знаходять сукупність значень випадкової величини Y і ймовірності, з якими ці значення приймаються. У тому випадку, коли серед значень g (x_k) немає однакових, маємо P { Y=g (x_k)} =P { X=x_k } =p_k. Якщо серед значень g (x_k) є однакові, потрібно додавати відповідні ймовірності.

Приклад 1. Випадкова величина X задана таблицею розподілу:

Знайти таблицю розподілу випадкової величини Y=X ².

Розв‘язок. Метод побудови таблиці розподілу випадкової величини зрозумілий з мал.2.13: вона має вигляд

2) Випадкова величина X є неперервною. У тому випадку, коли функція g (x) має обернену h (y), справедливе співвідношення

, (11)

яке виходить з того, що події { X Î[x; x +D x)} та { Y Î[y; y +D y)} є еквівалентними (мал.2.14).

Зауваження. Якщо функція не є монотонною, то формулу (11) слід використати на кожному проміжку монотонності а потім об’єднати одержані результати.

Приклад 2. Випадкова величина X ~ N (a;s²). Знайти щільність ймовірності випадкової величини: 1) Y=AX+B; 2) Y=e^X.

Розв’язок. 1) Оскільки y=Ax+B, то і . Тому на підставі (11), одержимо

.

Таким чином, Y ~ N (aA+B; s²A²).

2) Оскільки оберненою по відношенню до функції e^x (g(x)) є функція ln y(h(y)), то і на підставі формули (11) одержимо

. (12)

Розподіл (12) називається логнормальним. Він використовується при опису амплітуди, потужності та обвідної радіосигналу. Графік логнормального розподілу приведено на мал.2.15.

Приклад 3. Випадкова величина X ~ N (a;s²). Знайти щільність ймовірності випадкової величини Y=X ².

Розв’язок. Функція y=x² має дві обернені h₁(y) = , h₂(y) = – . Тоді, за формулою (11) з урахуванням зауваження знаходимо

.

Графік цього розподілу при s=1 приведено на мал.2.16.