Дискретний випадковий вектор

Y X	y 1	y 2	...	ym
x 1	p 11	p 12	...	p 1 m
x 2	p 21	p 22	...	p 2 m
...	...	...	...	...
xn	pn 1	pn 2	...	pnm

Якщо обидві координати вектора є дискретними випадковими величинами, то вектор називають дискретним випадковим вектором. Дискретний випадковий вектор задається набором значень (x_k; y_j) та ймовірностями p_kj=P { X=x_k, Y=y_j }, з якими ці значення приймаються. Дискретний випадковий вектор, як правило, задають таблицею розподілу.

Ясно, що сума всіх ймовірностей p_kj дорівнює одиниці.

У таблиці розподілу випадкового вектора міститься вся інформація про нього. Зокрема, ця таблиця дозволяє знайти розподіл координат вектора.

Оскільки подія { X=x_k } складається з суми попарно несумісних подій { X=x_k, Y=y ₁}, { X=x_k, Y=y ₂},..., { X=x_k, Y=y_m }, то щоб одержати розподіл ймовірностей p_k випадкової величини X потрібно просумувати ймовірності p_kj, які стоять у k- му рядку таблиці:

p_k = P { X=x_k } = p_{k 1}+ p_{k 2}+...+ p_km. (1)

При сумуванні ймовірностей p_kj по стовпцях знаходимо розподіл ймовірностей випадкової величини Y.

Y X	-2	-1
	0.15	0.05	0.25
	0.35	0.2

Приклад 1. Знайти розподіл координат випадкового вектора , заданого таблицею розподілу:

Розв’язок. На підставі формули (1) одержуємо розподіли координат X та Y:

X				Y	-2	-1
P	0.45	0.55		P	0.5	0.25	0.25

Виникає запитання: чи завжди можливо за розподілом координат зна­йти розподіл вектора? Виявляється, що відповідь на це питання негативна.

Введемо подібно до умовної ймовірності поняття умовного розподілу

. (2)

Випадкові величини X та Y називаються незалежними тоді, коли при всіх значеннях k та j справедливі співвідношення

.

Випадкові величини X та Y незалежні тоді і тільки тоді, коли при всіх значеннях k та j виконується рівність

.

Іншими словами, двовимірний розподіл вектора відновлюється по одновимірних розподілах його координат лише у тому випадку, коли координати вектора є незалежними випадковими величинами.

Приклад 2. В умовах прикладу 1 знайти умовні розподіли та з’ясувати питання про те, чи є випадкові величини X та Y залежними.

Розв’язок. На підставі формули (2) знайдемо умовний розподіл X при Y= 2:

.

Аналогічно одержуємо умовний розподіл при Y= –1 та Y= 2:

,

.

Випадкові величини X та Y є залежними, наприклад, тому що

.