Равновесие плавающего тела частично погруженного в жидкость

Когда вес погруженного в жидкость тела G оказывается меньше подъемной силы F < , тело всплывает. Всплывание тела продолжается до тех пор, пока существует неравенство G < .

Представим себе находящееся в равновесии плавающее тело, которое имеет вертикальную ось симметрии KN (рисунок 1. 22 а).

Линию WL, по которой свободная поверхность жидкости пересекает поверхность плавающего тела, называют ватерлинией. Сечение тела по вертикали называют плоскостью плавания. Центр водоизмещения находится в точке В – центре тяжести вытесненного телом объема WKL, лежащего под ватерлинией WL и равного V. Центр тяжести самого плавающего тела пусть находится в точке С – выше центра водоизмещения В, обе точки С и В расположены в плоскости симметрии KN, и так как последняя при равновесии предположена вертикальной, то вертикальна и ось плавания, и тело находится в равновесии. На рисунке 1. 22 а это равновесное положение показано пунктиром.

Рисунок 1.22

Следует заметить, что вопрос о выяснении условий устойчивого равновесия плавающего тела, в частности, судов, вообще весьма сложен и рассматривается в специальных курсах, здесь же мы лишь кратко рассмотрим упрошенное исследование этого вопроса.

Предположим, что плавающее тело вследствие какой-либо внешней причины вышло из положения равновесия так, что его старая плоскость плавания WL составляет некоторый угол q с новой ватерлинией W ₁ L ₁ или с горизонталью 00.

Для простоты примем, как это часто имеет место в действительности, что борта нашего плавающего тела близ ватерлинии параллельны и что угол крена q невелик. Тогда линия пересечения плоскостей WL и W ₁ L ₁ будет лежать в плоскости симметрии KN. В этом новом положении плавающее тело вытесняет новый объем W ₁ KL ₁, который должен равняться прежнему WKL, так как оба они должны давать одинаковые подъемный силы, равная каждая неизменившемуся весу G самого плавающего тела. С изменением формы погруженного объема его центр тяжести должен переместиться. Пусть новое положение центра тяжести погруженного объема W ₁ KL ₁ есть точка В ₁, которая будет также и новым центром водоизмещения, другими словами, в В ₁ будет приложена подъемная сила F = действующая вертикально вверх.

Продолжим линию действия подъемной силы Р до пересечения ее с начальной осью плавания KN в точке М. Точка М называется метацентром. Расстояние от метацентра М до центра водоизмещения В – отрезок МВ –называют метацентрическим радиусом и обозначают буквой r (по дуге, описанной метацентрическим радиусом при крене, перемещается центр водоизмещения).

Расстояние от метацентра М до центра тяжести С – отрезок МС – называют метацентрической высотой и обозначают буквой h.

Обозначим через а – разность ординат положения центров тяжести Z_G и водоизмещения Z_B над плоскостью днища (основания) плавающего тела

a=Z_G–Z_B.

Рассматривая рисунок 1.22 видим, что от взаимного расположения центра тяжести плавающего тела и метацентра зависит остойчивость плавающего тела или его способность возвращаться из данного накрененного положения в нормальной положение устойчивого равновесия.

И здесь могут быть три случая (рисунок 1.22, положения а, б, в):

Если метацентр М, считая по оси плавания, лежит выше центра тяжести С тела, то пара сил (G, F = ) стремится вернуть тело в его прежнее положение, и тело окажется в условии устойчивого равновесия. При этом

ВМ>ВС и СМ> 0.

Если метацентр М на оси плавания окажется ниже центра тяжести С тела, то, наоборот, силы G и F = будут еще сильнее увеличивать крен тела и создадут для него условия неустойчивого равновесия. Тело будет искать новое положение равновесия – устойчивое (и перевернется). В этом случае

ВМ<ВС и СМ< 0.

Если метацентр М и центр тяжести С тела совпадают, то тело будет находиться в состоянии безразличного равновесия, например, плавающий однородный цилиндр или шар. Этому соответствует

ВМ=ВС и СМ= 0.

Из только что рассмотренного ясно, что при данном крене остойчивость плавающего тела, т.е. стремление его вернуться в положение равновесия, зависит от величины момента действующей при этом пары сил тяжести G и подъемной Р, или при данном водоизмещении – от плеча этой пары СЕ, которое в свою очередь может быть выражено через метацентрическую высоту h.

,

где СЕ=МС× sin q,

а так как МС=h и F = , то момент остойчивости можно записать как

М_о= ×h× sin q.

Поэтому естественно, что величину метацентрической высоты принято считать мерой остойчивости плавающего тела.

Из рисунка 1.22 видно, что метацентрическую высоту h (отрезок МС) можно выразить как разность метацентрического радиуса r (отрезок МВ) и величины а (отрезок СВ)

H=r-a. (1.57)

Рассмотрим определение величины метацентрического радиуса r, полагая, что тело накренилось на некоторый небольшой угол q (q <15°). Для этого воспользуемся рисунком 1.23.

Рисунок 1.23

На рисунке 1.23 точка В – центр водоизмещение при нахождении плавающего тела в равновесии, когда плоскость KN вертикальна; точка В ₁ новое положение центра водоизмещения при крене тела на угол q. Точка С – центр тяжести тела.

Представим, что к плавающему телу в точке В приложены две вертикальные, противоположно направленные силы, равные каждая G=g×V, отчего, конечно, в состоянии тела ничего не изменится.

Рассматривая силу G, приложенную в точке С, и силу (–G), приложенную в точке В, видим, что они дают пару сил с плечом е, стремящуюся увеличить крен тела. Две другие силы F= – в точке В ₁ и + G – в точке составляют другую пару с плечом е ₁, которая стремится восстановить прежнее положение равновесия тела.

Появление этой восстанавливающей пары сил есть следствие того, что при крене левая клинообразная часть тела SWW ₁ вышла из жидкости, а правая – SLL ₁ – погрузилась в жидкость. Левый клин, не будучи более погруженным в жидкость, не воспринимает более соответствующей ему подъемной силы Q ₁= _{SWW 1}, т.е. стал как бы на Q ₁ тяжелее. Одновременно правый клин, погрузившись в жидкость, начал испытывать действие подъемной силы Q ₂= _{SLL 1}, т.е. стал как бы на Q ₂ легче. Как было выяснено выше, оба клина SWW ₁ и SLL ₁ имеют одинаковые объемы, а потому силы Q ₁ и Q ₂ равны между собой: Q ₁= Q ₂= Q. Как подъемные силы они вертикальны, и их точки приложения находятся в центрах тяжести клинов, горизонтальное расстояние между которыми обозначим через l.

Учитывая приведенные выше рассуждения видим, что пара сил (G; F = ) равноценна паре сил (Q; Q) и их моменты равны. Следовательно можно написать

Q×l=G×e ₁ = · ,

или учитывая, что

Q×l= · . (1.58)

Q – есть вес жидкости в объеме клина SWW ₁ и SLL ₁, и его можно выразить следующим образом. Возьмем на плоскости плавания WL элемент площади dw, находящийся на расстоянии x от оси, около которой происходит поворот тела при крене, т.е. от оси, нормальной к плоскости чертежа и пересекающей эту плоскость в точке S. Элементарный цилиндр, построенный на основании dw, будет иметь объем

dw×x× tg q.

Вес жидкости в объеме такого элементарного цилиндра будет равен

g×dw×x× tg q,

а момент этого веса относительно оси S напишется

g×dw×x²× tg q.

Учитывая, что вес всего клина SLL ₁ есть сумма весов элементарных цилиндров, и зная из механики, что момент силы равнодействующей относительно какой-либо оси равен сумме моментов сил составляющих, а также то, что вместо момента Ql можно взять сумму моментов относительно оси S сил (+ Q) и (– Q), можно написать

. (1.59)

Следует иметь ввиду, что интегрирование должно быть распространено на всю плоскость ватерлинии WL.

Полученный интеграл = J – моменту инерции площади ватерлинии относительно оси качания тела S, нормальной к плоскости чертежа и проходящей через центр тяжести площади ватерлинии.

Из уравнений (1.58) и (1.59) определяем

.

Учитывая, что при малых углах q

tg q» sin q,

метацентрический радиус определится как

. (1.60)

Для определения входящей в выражение (1.57) метацентрической высоты величины а, так же используем положение механики о равенстве момента равнодействующей сумме моментов ее составляющих

a=Z_G–Z_B

откуда ;

откуда ;

где G - полный вес плавающего тела;

Z_G - ордината центра тяжести тела С над плоскостью днища;

G_i и Z_Gi - соответственно веса отдельных частей плавающего тела и ординаты их центров тяжести;

V - объем погруженной в жидкость части плавающего тела;

Z_B - ордината центра водоизмещения;

G_i и Z_Gi - соответственно объемы отдельных элементов общего объема V и ординаты их центров над плоскостью днища.

Учитывая все вышеизложенное, выражение возникающего при крене момента остойчивости в окончательном виде будет

. (1.61)

При этом для устойчивого равновесия необходимо соблюдение условия

>0. (1.62)

Так как положительное слагаемое пропорционально J, то минимальное значение h будет при наименьшем моменте инерции площади ватерлинии, при крене около той оси, относительно которой площадь ватерлинии имеет этот минимальный момент инерции.

Заметим, что в судовой практике величина метацентрической высоты h различна, и зависит от типа судна, достигая вообще примерно 1,5 м.

Контрольные вопросы

Вопросы: 1. Сформулируйте закон Архимеда. 2. Что называется плавучестью? 3. Что называется остойчивостью? 4. Что называют объемным и весовым водоизмещением? 5. Чем отличается объемное водоизмещение от весового?