Уравнение неразрывности потока жидкости

Рассмотрим движение, когда внутри него не образуются пустоты и не появляются разрывы.

Условие неразрывности может быть выражено для каждой точки потока, элементарной струйки и потока жидкости.

Рисунок 2.3. Схемы для вывода уравнения неразрывности:

а — для струйки тока; б — для потока жидкости

Рассмотрим условие неразрывности для элементарной струйки при установившемся движении жидкости. Выделим отсек жидкости 1 - 1 и 2 - 2 элементарной струйки (рисунок 2.3, а). За время dt через площадь живого сечения струйки dS₁ в отсек 1 - 2 втечёт жидкость в объеме dS₁u₁dt. За то же время dt через живое сечение ds₂ из отсека 1 - 2 вытечет объем жидкости dS₂u₂dt, При этом форма отсека с течением времени не меняется (первое свойство элементарной струйки), поверхность струйки непроницаема (второе свойство элементарной струйки), а жидкость несжимаема. Следовательно, объем жидкости, поступающей за время dt в отсек через сечение 1 - 1, должен быть равен объему жидкости, вытекающей за то же время из отсека через сечение 2-2,

,

или

.

Рассуждая аналогичным образом, можно получить такие же соотношения и для других сечений струйки, например для сечений 3 - 3 и 4 - 4. Следовательно,

Это уравнение называется уравнением неразрывности элементарной струйки.

Уравнение неразрывности показывает, что произведение площади живого сечения элементарной струйки на скорость в том же сечении — величина постоянная. Иначе говоря, расход жидкости во всех сечениях элементарной струйки одинаков.

От уравнения неразрывности элементарной струйки несжимаемой жидкости можно перейти к уравнению неразрывности для потока. Для потока жидкости (рисунок 2.3, б) в случае, если между сечениями 1 - 1 и 2 - 2 нет отводов или притока, условие неразрывности является условием постоянства расхода, тогда можно записать откуда получаем важное следствие о соотношении средних скоростей потока в различных сечениях, то есть скорости потока обратно пропорциональны площадям живого сечения.

, (2.4)

(2.5)

Контрольные вопросы

1. По каким признакам установившееся движение жидкости отличается от неустановившегося, равномерное от неравномерного, напорное от безнапорного? 2. Чем отличается траектория частицы жидкости от линии тока? Когда траектория и линия тока совпа­дают? 3. Что называется расчетной моделью потока? 4. Можно ли измерить скорость струйки? Можно ли измерить среднюю ско­рость потока? 5. Что учитывается гидравлическим радиусом? 6. Каков геометрический смысл различных членов уравнения Бернулли? Каков их энергетический смысл?