| 1. Четная функция
| Функция  , определенная на множестве  , называется четной, если для любого значения  из выполняются условия
 и  .
График четной функции симметричен относительно  .
| Задача.
Укажите график четной функции.
Варианты ответов:
1)  2) 
3)  4) 
Решение.
График четной функции симметричен относительно оси  , поэтому рис. №2.
Ответ. №2.
|
| 2. Нечетная функция
| Функция , определенная на множестве , называется нечетной, если для любого значения из выполняются условия
и  .
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
| Задача.
Укажите график нечетной функции.
Варианты ответов:
1) 2)
3) 4)
Решение.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки О), поэтому рис. №3.
Ответ. №3.
|
| 3. Периодическая функция
| Функция , определенная на множестве , называется периодическойна этом множестве, если существует такое число  , что при каждом  значение  и  . При этом Т называется периодом функции.
Для построения графика периодической функции периода  достаточно построить его на любом отрезке длины Т и периодически продолжить его во всю область определения.
Элементарными периодическими функциями являются:  ,  ,  , 
| Задача.
Укажите график периодической функции
Варианты ответов:
1)  2) 
3)  4) 
Ответ. №4.
Задача.
Периодической является функция…
Варианты ответов: 1)  2) 
3)  4) 
Решение.
Функция, описываемая уравнением №3 является периодической.
Ответ. №3.
|
| 4. Простые
гармонические колебания
5. Период
колебания
| Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону  или  , называются простыми гармоническими колебаниями.
А – амплитуда колебания,
 - фаза колебания,
 - частота колебания,
 - начальная фаза.
| Задача.
Гармонические колебания с амплитудой равной 5, частотой равной 3 и начальной фазой  описываются законом…
Решение.
Задача.
Гармонические колебания с амплитудой D, частотой и начальной фазой  определяются уравнением…
Варианты ответов:
1)  2) 
3)  4) 
Ответ. №4.
|
6. Ряд Фурье функции 
| Рядом Фурье периодической функции с периодом  , определенной на отрезке  , называется функциональный ряд
 ,
где  ,
 ,
 , 
Величина интегралов в данных формулах не изменится, если пределами их взять  и .
Тогда:
 ,
 ,
| Задача.
График функции при  и его периодическое продолжение заданы на рисунке
Тогда ряд Фурье для этой функции имеет вид…
Варианты ответов: 1) 
2) 
3)  4) 
Решение.
По рисунку видно, что функция - общего вида, поэтому ряд Фурье для нее имеет вид №3.
Ответ. №3.
|
| 7. Ряд Фурье для четной функции
| Ряд Фурье для четной функции содержит только свободный член и косинусы, т.е.
 , где
 ,
 ,
 ,
| Задача.
Функция  , заданная на отрезке  является четной. Тогда разложение этой функции в ряд Фурье может иметь вид…
Варианты ответов:
1) 
2) 
3) 
4) 
Решение.
Т.к. является четной функцией, то  . Поэтому разложение этой функции в ряд Фурье может иметь вид 4.
Ответ. №4.
|
| 8. Ряд Фурье для нечетной функции
| Ряд Фурье для нечетной функции состоит только из синусов
 , где  ,  ,
 ,
| Задача.
Дана функция  ,  . Тогда коэффициент  разложения в ряд Фурье равен…
Решение.
Функция является нечетной, поэтому коэффициент  равен 0. Следовательно,  .
Ответ. 0.
|
| 9. Условия
Дирихле (разложения функции в ряд Фурье)
| 1) функция должна быть непрерывной в промежутке значения х от  до  или может иметь в указанном промежутке конечное число разрывов первого рода.
2) функция должна иметь конечное число максимумов и минимумов или не иметь их совсем.
|
| 10. Теорема
Дирихле
| Если функция с областью существования  удовлетворяет условиям Дирихле, то
1) ряд Фурье функции сходится в указанном промежутке значений х;
2) сумма этого ряда равна функции во всех точках ее непрерывности;
3) в каждой точке разрыва функции сумма ряда равна величине ординаты средней точки скачка графика функции;
4) при  и  сумма ряда одинакова и равна
 .
| Задача.
График периодической функции имеет вид:
 - сумма ряда Фурье для этой функции. Тогда сумма  равна…
Решение.
В точке  функция терпит разрыв, поэтому
 .
Ответ.  .
|
| | | | |
