Вычисление приближенного значения функции
(*)
| Задача.
Значение функции в точке можно вычислить по формуле…
Варианты ответов:
1)
2)
3)
4)
Решение.
, тогда
Найдем производную ; .
Тогда .
Подставим в формулу (*)
Ответ. №1
|
Приближенное решение уравнений
Если для уравнения известно, что
1) - непрерывная функция на отрезке
2) на отрезке уравнение имеет единственный корень.
Тогда функция на концах отрезка принимает значения разных знаков, т.е.
и или наоборот и .
С геометрической точки зрения.
|
Задача.
Действительный корень уравнения принадлежит интервалу…
Варианты ответов: 1) 2)
3) 4)
Решение.
.
Рассмотрим первый интервал .
.
.
Рассмотрим второй интервал .
.
.
Рассмотрим третий интервал
.
.
Рассмотрим четвертый интервал
.
.
Только на четвертом интервале на концах функция принимает значения разных знаков, следовательно, корень уравнения принадлежит четвертому интервалу.
Ответ. №4.
Задача.
Действительный корень уравнения принадлежит интервалу…
Варианты ответов: 1) 2)
3) 4)
Решение.
Рассмотрим первый интервал
На концах отрезках функция принимает значения разных знаков. Следовательно, корень принадлежит данному интервалу.
Ответ. №1.
|
Метод половинного деления
Основан на утверждении:
при делении отрезка пополам выбирается тот отрезок, на концах которого функция имеет разные знаки.
Середина отрезка вычисляется по формуле
| Задача.
Три итерации метода половинного деления при решении уравнения на отрезке требуют последовательного вычисления значений функции в точках…
Варианты ответов: 1)
2) 3)
4)
Решение.
Найдем значения функции на концах заданного отрезка .
Середина отрезка :
Значение функции в середине
Выбираем отрезок с разными знаками. Это отрезок .
Найдем середину этого отрезка .
Значение функции в середине .
Выбираем отрезок с разными знаками. Это отрезок .
Найдем середину отрезка :
Ответ. №1
|
Решение дифференциального уравнения с помощью разложения функции в степенной ряд
Степенной ряд для функции имеет вид
Если , то
(**)
| Задача.
Дано дифференциальное уравнение при . Тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд имеют вид…
Варианты ответов: 1) 2)
3) 4)
Решение.
Из формулы (**) видно, что нужно найти .
По условию задачи , т.е. ; .
Т.к. , то .
Найдем производную от обеих частей исходного уравнения
, получим .
Подставим уже полученные , .
Тогда .
Полученные значения , и подставим в степенной ряд (**)
Ответ. №1.
|
Приближенное вычисление определенных интегралов
С геометрической точки зрения, если на , тогда - площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми , , осью и графиком функции .
Метод прямоугольников
Имеют место следующие формулы
|
Задача.
Формула приближенного вычисления определенного интеграла, соответствующая рисунку, имеет вид…
Варианты ответов: 1)
2)
3)
4)
Решение.
Определенный интеграл приближенно равен сумме площадей заштрихованных прямоугольников
Ответ. №3.
|
Метод трапеций
| Задача.
Формула приближенного вычисления определенного интеграла, соответствующая рисунку, имеет вид…
Варианты ответов: 1)
2)
3)
4)
Решение.
Определенный интеграл приближенно равен сумме площадей заштрихованных трапеций
Ответ. №4.
|
Метод Эйлера решения дифференциального уравнения
Решение дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию можно приближенно определить в точках
;
и т.д.,
где - шаг изменения аргумента
(***)
|
Задача.
Найти, используя метод Эйлера, значения функции , определяемой дифференциальным уравнением при начальных условиях , принимая .
Ограничиться отысканием первых трех значений .
Варианты ответов: 1) ; ;
2) ; ;
3) ; ;
Решение.
1) Из начального условия ; .
Найдем .
2)
Для вычисления воспользуемся формулой (***)
3)
.
Ответ. №2.
|