§1 Общие сведения
|
1. Ряд. Общий член ряда
Выражение вида , где - члены некоторой бесконечной последовательности, называется рядом, называется общим членом ряда.
Сумма называется частичной суммой ряда
|
2. Сходимость ряда. Сумма ряда
Ряд называется сходящимся, если , при этом число называется суммой ряда.
Ряд называется расходящимся, если не существует или бесконечен.
|
Задача.
Частичная сумма первых пяти членов числового ряда 11; 13; 15; …, равна ….
Варианты ответов: 1) 75 2) 19 3) 47,5 4) 80
Решение.
.
Ответ. №1.
Задача.
Общий член последовательности имеет вид…
Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)
Решение.
Из предложенных ответов не подходят №2 (так как при получаем отрицательное число ), и №3 (так как нет чередования знаков).
В формулы №1 и №4 подставляем натуральные значения n.
Если , то , не подходит.
Если , то , , , , … подходит.
Ответ. №4.
Задача.
Второй член числового ряда равен…
Решение.
.
Ответ. 16.
|
§2 Числовые ряды
|
3. Гармонический ряд
4. Обобщенный
гармонический ряд
5. Ряд геометрической
прогрессии
| Ряд
называется гармоническим рядом.Он расходится.
Ряд
называется обобщенным гармоническим рядом.
Ряд
Ряд , называется рядом геометрической прогрессии.
Этот ряд при
1) сходится, его сумма равна
2) расходится
| Задача.
Укажите сходящиеся числовые ряды.
Варианты ответов: 1) 2)
3) 4)
Решение.
;
;
.
Все ряды являются обобщенными гармоническими рядами, т.е. рядами вида . При - ряд расходится, поэтому ответ №3.
Ответ. №3.
Задача.
Сумма числового ряда равна…
Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)
Решение.
Ряд - ряд геометрической прогрессии.
,
, , .
Ответ. №2.
|
6. Необходимое условие сходимости ряда (не является достаточным)
| Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. .
| Задача.
Из данных рядов выбрать те, для которых не выполняется необходимое условие сходимости ряда 1) 2) 3) 4)
Решение.
1) , выполняется.
2) , не выполняется.
3) , выполняется.
4) , выполняется.
Ответ. №2.
|
§3 Знакоположительные ряды. ,
|
7. Достаточные признаки сходимости ряда
7.1. Признак Даламбера
7.2. Радикальный признак Коши
7.3. Интегральный признак Коши
7.4. Признаки сравнения
| Если в ряде с положительными членами выполняется условие
, то
1) при , данный ряд сходится
2) при , данный ряд расходится
Если в ряде с положительными членами , то
1) при , данный ряд сходится
2) при , данный ряд расходится
Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке функции так, что , , …, , …, то:
1) и ряд сходятся или расходятся одновременно
I. Пусть даны два знакоположительных ряда и
Если для всех n выполняется неравенство
, то
а) из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами ;
б) из расходимости ряда с меньшими членами , следует расходимость ряда с большими членами .
II. Пусть даны два знакоположительных ряда и . Если существует конечный, отличный от 0, предел
, то ряды и сходятся или расходятся одновременно.
| Задача.
Из рядов а) б) в) сходятся…
Варианты ответов: 1) только а
2) только с 3) только в и с
4) ни один не сходится 5) только в
Решение.
а) , .
,
не выполняется необходимое условие сходимости, ряд расходится.
б) , , .
Исследуем по признаку Даламбера.
, ряд расходится.
в) , .
Исследуем по признаку сравнения.
Сравним с рядом , .
Он сходится, как обобщенный гармонический ряд.
.
Значит, ряды и одновременно сходятся.
Ответ. №2.
|
§4 Знакочередующиеся ряды ,
|
8. Достаточный признак сходимости (признак Лейбница)
| Знакочередующийся ряд сходится, если:
1) последовательность абсолютных величин ряда монотонно убывает, т.е. ;
2) общий член ряда стремится к нулю: .
При этом сумма ряда удовлетворяет неравенствам
.
| Задача.
Установите соответствие между видами сходимости и знакочередующимися рядами.
1. абсолютно сходится А)
2. условно сходится В)
3. расходится С)
Решение.
А) , .
, ряд расходится.
|
9. Абсолютно сходящийся ряд
10. Условно сходящийся ряд
|
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.
Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
| В) , .
а) ряд сходится по признаку Лейбница.
б) ряд из модулей . Сравним с рядом , он расходится.
,
Ряд с меньшими членами расходится, значит, ряд с большими членами расходится.
Из п. а) и б) следует, что ряд - сходится условно.
С)
Ряд из модулей сходится как ряд геометрической прогрессии, значит, ряд сходится абсолютно.
Ответ. , ,
|
§5 Функциональные ряды
|
11. Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным.
|
12. Область сходимости
| Совокупность числовых значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости.
|
13. Степенные ряды
| Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, называется степенным рядом.
|
| | | |
14. Радиус сходимости степенного ряда.
15. Интервал сходимости степенного ряда
| Радиус сходимости вычисляется по формулам:
Для ряда :
Для ряда :
| Задача.
Радиус сходимости степенного ряда равен 10, тогда интервал сходимости имеет вид…
Варианты ответов: 1)
2) 3) 4)
Решение.
Так как , то , , .
Ответ. №1.
|
§6 Ряды Тейлора и Маклорена
|
16. Разложение функции в ряд Тейлора
|
Если функция бесконечно дифференцируема в окрестности точки и , то
| Задача.
Если , то коэффициент разложения данной функции по степеням равен…
Варианты ответов: 1) 3 2) 0 3) 1 4) 0,25
Решение.
В разложении функции в ряд Тейлора .
В нашем случае:
, , ,
, , .
Ответ. №2.
|
17. Разложение функции в ряд Маклорена
|
Если функция бесконечно дифференцируема в окрестности точки и , то
|
18. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
|
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
| Задача.
Дана функция , тогда первые три (отличные от нуля) члена разложения этой функции в ряд Тейлора в окрестности точки имеют вид…
Варианты ответов:
1) 2)
3) 4)
Решение.
Так как
, то
Ответ. №4.
|