§1 Комплексные числа
|
Комплексное число – это выражение вида .
- действительная часть комплексного числа
- мнимая часть комплексного числа
; - мнимая единица.
Сопряженное к - это число
| Задача.
Найти геометрический образ выражения ; .
Решение.
; ; , , .
Тогда или
Задача.
Укажите соответствие между областями и их геометрическими интерпретациями
1) 2) 3) 4)
Варианты ответов:
А) В)
С) D)
E)
Решение.
|
Комплексному числу можно поставить в соответствие число
| Например,
|
Модуль комплексного числа – длина вектора .
Модуль вычисляется по формуле
| Задача.
Модуль, равный , имеют комплексные числа…
(выберите несколько вариантов ответа)
1) 2)
3) 4)
5)
Решение.
Найдем модуль каждого числа
1)
2)
3)
4)
5)
Ответ. Модуль, равный имеют комплексные числа под номерами 4 и 5.
|
Аргумент - угол между вектором и осью . Вычисляется с точностью до .
Главное значение аргумента вычисляется по схеме (в зависимости от значений и )
| Задача.
Найти аргумент комплексного числа .
Решение.
лежит в III четверти
Итак, главное значение аргумента .
Вообще же, аргументом может быть угол или .
Ответ. .
|
Алгебраическая форма комплексного числа
.
Тригонометрическая форма комплексного числа
Показательная форма комплексного числа
Формула Эйлера
| Задача. На рисунке представлена геометрическая иллюстрация комплексного числа
Тогда тригонометрическая форма записи этого числа имеет вид
Варианты ответов: 1)
2) 3)
4)
Решение.
Из чертежа видно, что
;
, тогда .
Сравнивая тригонометрическую форму с предложенными вариантами ответов, приходим к выводу, что правильным ответом является №3.
Ответ. №3.
Задача.
Комплексное число можно представить в виде…
Варианты ответов: 1) 2)
3) 4)
Решение.
.
I четверть. Тогда .
Анализируем ответы:
1)
2) , - это тригонометрическая форма числа
3) не является ни одной из форм комплексного числа
4) , - это показательная форма числа
Ответ. правильными являются ответы №2 и №4.
Задача.
Комплексное число в алгебраической форме имеет вид…
1) 2) 3) 4)
Решение.
.
Ответ. №3.
|
§2 Действия над комплексными числами ( ; )
|
1) Сумма
2) Разность
3) Произведение
4) Деление
| Задача.
Вектор, соответствующий сумме комплексных чисел и , изображен на рисунке…
1) 2) 3) 4)
Решение.
Для числа ; .
Ответ. №3.
Задача.
Комплексное число равно…
1) 2)
Решение.
Ответ. №1
Задача.
Дано комплексное число . Установите соответствие между операциями над данным числом и результатами их выполнения.
1. ; 2. ; 3. ; 4. .
А) В) 2 С) D) E) 4
Решение.
1)
2)
3)
4)
Ответ. ; ; ;
|
§3 Функция комплексного переменного
|
Элементарные функции
1)
2) ,
Главное значение логарифма, если
3)
4)
5)
6)
7)
| Задача. Найти
Решение.
Задача.
Вычислить .
Решение.
Задача.
Образом точки при отображении является
1) 2) 3) 4)
Решение.
Ответ. №4.
Задача.
Установите соответствие между функцией комплексного переменного и ее значением в точке
1. 2. 3.
А) 3 В) С) D) E)
Решение.
1)
2)
3)
Ответ. ; ;
|
§4 Дифференцируемость функции комплексного переменного
|
Функция аналитическая, если
Функции , , , , , являются аналитическими на все комплексной плоскости
Произведение, сумма, разность двух аналитических функций является аналитической функцией.
| Задача. Какие из функций являются аналитическими на всей комплексной плоскости
1) 2) 3) 4)
Решение.
1) функции и являются аналитическими
2) .
не является аналитической
3)
Следовательно, являются аналитическими
|
При вычислении производной используется обычная таблица производных
| Задача.
Найти производную в точке .
Решение.
|
§5 Интеграл от функции комплексного переменного
|
Интегральная формула Коши и следствие.
Если - внутренняя точка области , то
, где
- граница замкнутой области ;
- аналитична в
Если не лежит внутри области , то
| Задача.
Вычислить
Решение.
- окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1.
не лежит внутри круга.
Следовательно, .
Задача.
Вычислить .
Решение.
|
§6 Операционное исчисление
|
Таблица оригиналов и изображений
|
|
| Теоремы: Если
1). ,
2).
3).
4).
5).
6).
7).
8).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | | |