3. Формула интегрирования по частям
| Задача.
Вычислить интеграл  .
Решение.
 
 .
Ответ.  .
|
|
4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах
|
|
Задача.
Вычислить интеграл  .
Решение.
  .
Ответ. 0.
| Задача.
Вычислить интеграл  .
Решение.
   .
Ответ.  .
|
|
| §2 Несобственные интегралы
|
|
| Несобственные интегралы I рода
|
|
Если функция  непрерывна на  , то
 (*)
Если функция непрерывна на  , то
 (**)
Если функция непрерывна на  , то
  (***)
Если пределы (*), (**) существуют и конечны, то несобственный интеграл – сходящийся, если эти пределы не существуют или бесконечны - расходящийся.
Интеграл сходится – если сходится каждый из двух интегралов в равенстве (***).
| Задача.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:  .
Решение.
 , интеграл сходится.
|
|
| Несобственные интегралы II рода
|
|
Если - непрерывна на  и имеет бесконечный разрыв при  , то
 . (*)
Если функция терпит бесконечный разрыв в точке  , то
 . (**)
Если терпит бесконечный разрыв внутри отрезка  , т.е. в точке  ,  , то
 . (***)
Если пределы (*), (**) существуют и конечны, то несобственный интеграл – сходящийся, если эти пределы не существуют или бесконечны - расходящийся.
Интеграл сходится – если сходится каждый из двух интегралов в равенстве (***).
| Задача.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: 
Решение.
 , интеграл расходится.
|
|
| §3 Геометрические приложения определенного интеграла
|
|
| Площадь плоской фигуры в декартовой системе координат
| Площадь плоской фигуры в полярной системе координат
|
|
 , 
 
|
 - непрерывна на  , 
|
|
Задача.
 Площадь фигуры, ограниченной параболой  и прямой  , вычисляется с помощью интеграла…
Варианты ответов: 1)  2)  3) 
4) 
Решение.
 , следовательно,  .
На отрезке  график функции расположен выше графика функции , поэтому
 
Ответ. №3.
|
|
| Длина дуги плоской кривой в декартовой системе координат
| 
 , 
| Задача.
Найти длину дуги кривой  от  до   .
Решение.
Так как  , то  ;  .
 .
 .
Ответ.  .
|
|
 , 
|
|
| Длина дуги плоской кривой в полярной системе координат
|
 , 
|
|
| Длина дуги плоской кривой в параметрическом виде на плоскости
|
 
|
|
| Длина дуги плоской кривой в параметрическом виде в пространстве
|
|
|
|
|
| Объем
| Площадь поверхности
|
Объем и площадь поверхности тела вращения
Кривая  , вращается вокруг оси 
Кривая  ,  вращается вокруг оси 
|  
|
|
|
| §4 Применение определенного интеграла к решению некоторых задач физики
|
| Вычисление работы
| Вычисление работы переменной силы  , при перемещении точки вдоль оси из положения  в положение 
| 
|
| Вычисление пути
| Путь пройденный телом за промежуток времени от  до  со скоростью 
| 
|
| | | | | | | | | | | | | | | |
.
Решение.
.
Ответ. 9.
.
Решение.
Ответ. 
.
.
Решение.
.
Ответ. 
.