Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Глава 10. Дифференциальное исчисление функции одной переменной



1 Формулы дифференцирования
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ;   13. 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. .
2 Основные правила дифференцирования
Пусть функции и дифференцируемы в точке . Тогда: 1. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: . 2. Производная произведения двух функций равна: 3. Производная частного двух функций равна: , если . Задача. Найти производные функций и . Решение. Воспользуемся формулой производной частного: , т.е. . Аналогичным образом получим формулу .
3 Производная сложной функции
Пусть и , тогда является сложной функцией переменной , а переменную называют промежуточным аргументом. Теорема.Если функция имеет в некоторой точке производную , а функция имеет в соответствующей точке производную , то сложная функция в указанной точке также имеет производную, которая находится по формуле или, коротко, Задача. Найти производную функции . Решение. Представим функцию как сложную, введя промежуточный аргумент : , где . Тогда и, следовательно, .  
4 Производная обратной функции
Теорема. Если функция в некоторой точке имеет отличную от нуля производную , то обратная ей функция в соответствующей точке также имеет производную , равную Задача. Найти производную обратных тригонометрических функций . Решение. Пусть . Обратная ей функция имеет вид , где . В интервале имеем . Тогда по правилу дифференцирования обратной функции , где перед корнем взят знак +, так как при . Итак, .
5 Производная неявно заданной функции
Если функция задана неявным уравнением , т.е. не разрешенным относительно , то для нахождения производной надо продифференцировать по обе части этого уравнения, учитывая, что есть функция от , и затем разрешить полученное уравнение относительно .   Задача. Найти производную функции , заданную уравнением . Решение. Функция задана неявно. Дифференцируя обе части этого тождества по , считая, что есть функция от и, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим  
6 Логарифмическое дифференцирование
На практике встречаются функции, производные которых находят логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая степенно-показательная функция . Найдем производную, предварительно логарифмируя: или Задача. . Решение. Найдем логарифм данной функции или . Дифференцируя обе части этого равенства, получим Отсюда Задача. . Решение. Прологарифмируем данное равенство Дифференцируя обе части последнего равенства, получим .
7 Производная функции, заданной параметрически
Если функция аргумента задана параметрическими уравнениями то производная функции по переменной , т.е. вычисляется по формуле: . Задача. Решение. Найдем и . Следовательно .
8 Касательная и нормаль к графику функции
Уравнение прямой, касательной к графику в точке имеет вид . Уравнение нормали, т.е. прямой, проходящей через точку перпендикулярно к касательной, имеет вид . Задача. Составить уравнение касательной и нормали к параболе в точке . Решение. Найдем производную функции при . Имеем отсюда . В результате получим искомые уравнения касательной или и уравнение нормали или .
9 Дифференциал функции
Дифференциал любой дифференцируемой функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной. Задача. Найти дифференциал функции . Решение. .
10 Приближенное вычисление с помощью дифференциала
Если достаточно мало по абсолютной величине, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости, чем , имеет место приближенное равенство: или . Задача. Вычислить приближенное значение . Решение. Рассмотрим функцию , полагая и применяя формулу , получим . Ответ. 0,513.
11 Производные высших порядков
Производной го порядка называют производную от производной го порядка. Производную го порядка обозначают или . Задача. Найти , если . Решение. ; . Ответ. 60.
12 Производные высших порядков, заданных параметрически
Если функция задана параметрически, то производные вычисляются по формулам Задача. Найти , если . Решение. .
13 Дифференциалы высших порядков
Дифференциалом го порядканазывается дифференциал от дифференциала го порядка: или Задача. Найти дифференциалы второго и третьего порядков функции . Решение. . ; .
14 Правило Лопиталя
Пусть функции и дифференцируемы в окрестности точки и при всех из этой окрестности, тогда, если или т.е. частное имеет в точке неопределенность типа или , то при условии, что существует предел отношения производных. Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида и . Но на практике встречаются неопределенности вида , . Эти неопределенности путем элементарных преобразований можно свести к неопределенностям вида или .   Задача. Найти . Решение. Здесь имеет место неопределенность . Применим правило Лопиталя, т.е. рассмотрим предел отношения производных заданных функций . Последний предел дает неопределенность . Снова применим правило Лопиталя и получим .   Задача.   Найти Решение.   . Задача. Найти Решение. .
               

15 Теорема Ролля
Теорема (Ролля).Пусть функция удовлетворяет следующим условиям: 1. непрерывна на отрезке , 2. дифференцируема в интервале , 3. на концах отрезка принимает одинаковые значения: . Тогда внутри отрезка найдется хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, т.е. .   Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна оси   Задача.   Выполняется ли теорема Ролля для функции , если , ? При каком значении ? Решение. Так как функция непрерывна и дифференцируема при всех значениях и ее значения на концах отрезка равны: . , то теорема Ролля на этом отрезке выполняется. Значит с определяется из уравнения ; ; . Следовательно, Ответ. выполняется, .
16 Теорема Лагранжа
Теорема (Лагранжа). Если функция 1. непрерывна на отрезке , 2. дифференцируема в интервале , то найдется хотя бы одна точка такая, что .     Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Отношение есть угловой коэффициент секущей , а угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой . Задача. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке . Решение. Функция определена при всех значениях , а следовательно и на отрезке . Функция дифференцируема на интервале . Найдем точку с, для которой выполняется равенство , где . , , . Откуда , причем .
17 Теорема Коши
Теорема (Коши). Если функции и 1. непрерывны на отрезке , 2. дифференцируемы в интервале , причем для всех , то найдется хотя бы одна точка такая, что
18 Теорема Ферма
Теорема (Ферма). Пусть функция определена на интервале и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна 0, то есть .
19 Интервалы монотонности
Теорема (достаточные условия). Если функция дифференцируема в интервале и для , то эта функция возрастает (убывает) в интервале . Задача. Определить интервалы монотонности функции . Решение. Найдем . Функция возрастает для всех значений , для которых . Решая неравенство , получим . Аналогично, решая неравенство , получим . Следовательно, функция возрастает в промежутках и и убывает в интервале .
20 Экстремум функции
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками функции. Если дифференцируемая функция y=f(x) в точке имеет экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю, то есть (необходимое условие экстремума функции) Теорема (достаточное условие экстремума). непрерывна в некотором интервале содержащем критическую точку . Если функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки (кроме, быть может, самой точки ) и при переходе аргумента через нее слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то точка максимума; если меняет знак с минуса на плюс, то точка минимума. Задача. Найти экстремумы функции . Решение. Очевидно, что . Находим . Определим критические точки: . Эти критические точки разбивают всю область определения функции на интервалы и . Полученные результаты удобно представить в виде следующей таблицы:
   
-   -   +
  нет экстр    

Из таблицы видно, что в точке нет экстремума, а точка минимума. Минимум этой функции равен .

         
21 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо: 1. найти критические точки на ; 2. вычислить значения функции в найденных критических точках и в точках , ; 3. из этих значений выбрать наибольшее и наименьшее. Задача. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на Решение. Находим критические точки: , , , , , , , . Наибольшее значение функции при равно 3. Наименьшее значение функции при равно -8.
22 Вертикальная асимптота
Прямая называется вертикальной асимптотой графикафункции , если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке равен бесконечности, то есть или . Задача.
 
 

Кривая имеет вертикальную асимптоту , так как и .

23 Горизонтальная асимптота
Прямая называется горизонтальной асимптотой графикафункции при (или ), если .   Задача. Прямая является горизонтальной асимптотой кривой , так как .
24 Наклонная асимптота
Прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b. ;   Задача. Найти асимптоты и построить график функции . 1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота. 2) Наклонные асимптоты: Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой. Построим график функции:
25 Мера плоского множества
Мера множества, математическое понятие, обобщающее понятия длины отрезка, площади плоской фигуры и объёма тела на множества более общей природы. В качестве примера можно привести определение меры Лебега (введённой А. Лебегом в 1902) для ограниченных множеств, лежащих на плоскости. При определении меры Лебега, так же как и при определении площади плоских фигур в геометрии, исходят из сравнения части плоскости, занимаемой множеством, с выбранной единицей измерения.
Задача. Мера множества, изображенного на рисунке, равна… Решение. Мерой данного множества будет площадь четверти круга, следовательно, если площадь круга , то площадь четверти круга . Ответ. . Задача. Мера плоского множества, изображенного на рисунке, равна… Решение. Площадь заштрихованного треугольника и будет мера данного множества, следовательно, используя геометрический смысл определенного интеграла для нахождения площади, получим: . Ответ. 1
         



Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 1253 | Нарушение авторского права страницы



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.005 с)...