Пусть функции и дифференцируемы в точке . Тогда:
1. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций:
.
2. Производная произведения двух функций равна:
3. Производная частного двух функций равна:
, если .
Задача.
Найти производные функций и .
Решение.
Воспользуемся формулой производной частного:
, т.е. .
Аналогичным образом получим формулу
.
3 Производная сложной функции
Пусть и , тогда является сложной функцией переменной , а переменную называют промежуточным аргументом.
Теорема.Если функция имеет в некоторой точке производную , а функция имеет в соответствующей точке производную , то сложная функция в указанной точке также имеет производную, которая находится по формуле
или, коротко,
Задача.
Найти производную функции .
Решение.
Представим функцию как сложную, введя промежуточный аргумент : , где . Тогда и, следовательно,
.
4 Производная обратной функции
Теорема. Если функция в некоторой точке имеет отличную от нуля производную , то обратная ей функция в соответствующей точке также имеет
производную , равную
Задача.
Найти производную обратных тригонометрических функций .
Решение.
Пусть . Обратная ей функция имеет вид , где . В интервале имеем . Тогда по правилу дифференцирования обратной функции
,
где перед корнем взят знак +, так как при .
Итак, .
5 Производная неявно заданной функции
Если функция задана неявным уравнением , т.е. не разрешенным относительно , то для нахождения производной надо продифференцировать по обе части этого уравнения, учитывая, что есть функция от , и затем разрешить полученное уравнение относительно .
Задача.
Найти производную функции , заданную уравнением .
Решение.
Функция задана неявно. Дифференцируя обе части этого тождества по , считая, что есть функция от и, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим
6 Логарифмическое дифференцирование
На практике встречаются функции, производные которых находят логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая степенно-показательная функция.
Найдем производную, предварительно логарифмируя:
или
Задача..
Решение.
Найдем логарифм данной функции или . Дифференцируя обе части этого равенства, получим
Отсюда Задача..
Решение.
Прологарифмируем данное равенство
Дифференцируя обе части последнего равенства, получим
.
7 Производная функции, заданной параметрически
Если функция аргумента задана параметрическими уравнениями
то производная функции по переменной , т.е. вычисляется по формуле:
.
Задача.Решение.
Найдем и . Следовательно .
8 Касательная и нормаль к графику функции
Уравнение прямой, касательной к графику в точке имеет вид
.
Уравнение нормали, т.е. прямой, проходящей через точку перпендикулярно к касательной, имеет вид
.
Задача.
Составить уравнение касательной и нормали к параболе в точке .
Решение.
Найдем производную функции при . Имеем отсюда .
В результате получим искомые уравнения касательной или и уравнение нормали или .
9 Дифференциал функции
Дифференциал любой дифференцируемой функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной.
Задача.
Найти дифференциал функции .
Решение..
10 Приближенное вычисление с помощью дифференциала
Если достаточно мало по абсолютной величине, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости, чем , имеет место приближенное равенство:
или
.
Задача.
Вычислить приближенное значение .
Решение.
Рассмотрим функцию , полагая и применяя формулу
,
получим .
Ответ. 0,513.
11 Производные высших порядков
Производной го порядка называют производную от производной го порядка. Производную го порядка обозначают или .
Задача.
Найти , если .
Решение.;
.
Ответ. 60.
12 Производные высших порядков, заданных параметрически
Если функция задана параметрически, то производные вычисляются по формулам
Задача.
Найти , если .
Решение..
13 Дифференциалы высших порядков
Дифференциалом го порядканазывается дифференциал от дифференциала го порядка:
или
Задача.
Найти дифференциалы второго и третьего порядков функции .
Решение..
;
.
14 Правило Лопиталя
Пусть функции и дифференцируемы в окрестности точки и при всех из этой окрестности, тогда, если
или
т.е. частное имеет в точке неопределенность типа или , то
при условии, что существует предел отношения производных.
Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида и . Но на практике встречаются неопределенности вида , . Эти неопределенности путем элементарных преобразований можно свести к неопределенностям вида или .
Задача.
Найти .
Решение.
Здесь имеет место неопределенность . Применим правило Лопиталя, т.е. рассмотрим предел отношения производных заданных функций
.
Последний предел дает неопределенность . Снова применим правило Лопиталя и получим
.
Задача.
Найти Решение..
Задача.
Найти Решение..
15 Теорема Ролля
Теорема (Ролля).Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:
1. непрерывна на отрезке ,
2. дифференцируема в интервале ,
3. на концах отрезка принимает одинаковые значения: .
Тогда внутри отрезка найдется хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, т.е. .
Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна оси
Задача.
Выполняется ли теорема Ролля для функции , если , ? При каком значении ?
Решение.
Так как функция непрерывна и дифференцируема при всех значениях и ее значения на концах отрезка равны:
.
, то теорема Ролля на этом отрезке выполняется. Значит с определяется из уравнения
;
;
.
Следовательно, Ответ. выполняется, .
16 Теорема Лагранжа
Теорема (Лагранжа). Если функция
1. непрерывна на отрезке ,
2. дифференцируема в интервале , то найдется хотя бы одна точка такая, что
.
Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Отношение есть угловой коэффициент секущей , а угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой .
Задача. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .
Решение.
Функция определена при всех значениях , а следовательно и на отрезке . Функция дифференцируема на интервале .
Найдем точку с, для которой выполняется равенство , где .
,
,
. Откуда , причем .
17 Теорема Коши
Теорема (Коши). Если функции и
1. непрерывны на отрезке ,
2. дифференцируемы в интервале , причем для всех , то найдется хотя бы одна точка такая, что
18 Теорема Ферма
Теорема (Ферма). Пусть функция определена на интервале и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна 0, то есть .
19 Интервалы монотонности
Теорема (достаточные условия). Если функция дифференцируема в интервале и для , то эта функция возрастает (убывает) в интервале .
Задача.
Определить интервалы монотонности функции .
Решение. Найдем . Функция возрастает для всех значений , для которых . Решая неравенство , получим .
Аналогично, решая неравенство , получим .
Следовательно, функция возрастает в промежутках и и убывает в интервале .
20 Экстремум функции
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками функции. Если дифференцируемая функция y=f(x) в точке имеет экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю, то есть (необходимое условие экстремума функции)
Теорема (достаточное условие экстремума).
непрерывна в некотором интервале содержащем критическую точку . Если функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки (кроме, быть может, самой точки ) и при переходе аргумента через нее слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то точка максимума; если меняет знак с минуса на плюс, то точка минимума.
Задача.
Найти экстремумы функции .
Решение.
Очевидно, что . Находим . Определим критические точки: . Эти критические точки разбивают всю область определения функции на интервалы и . Полученные результаты удобно представить в виде следующей таблицы:
-
-
+
нет экстр
Из таблицы видно, что в точке нет экстремума, а точка минимума. Минимум этой функции равен .
21 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо:
1. найти критические точки на ;
2. вычислить значения функции в найденных критических точках и в точках , ;
3. из этих значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Задача.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на Решение.
Находим критические точки:
, , , , , , , .
Наибольшее значение функции при равно 3.
Наименьшее значение функции при равно -8.
22 Вертикальная асимптота
Прямая называется вертикальной асимптотой графикафункции , если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке равен бесконечности, то есть или .
Задача.
Кривая имеет вертикальную асимптоту , так как и .
23 Горизонтальная асимптота
Прямая называется горизонтальной асимптотой графикафункции при (или ), если .
Задача.
Прямая является горизонтальной асимптотой кривой , так как .
24 Наклонная асимптота
Прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.
;
Задача.
Найти асимптоты и построить график функции .
1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.
2) Наклонные асимптоты:
Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.
Построим график функции:
25 Мера плоского множества
Мера множества, математическое понятие, обобщающее понятия длины отрезка, площади плоской фигуры и объёма тела на множества более общей природы. В качестве примера можно привести определение меры Лебега (введённой А. Лебегом в 1902) для ограниченных множеств, лежащих на плоскости. При определении меры Лебега, так же как и при определении площади плоских фигур в геометрии, исходят из сравнения части плоскости, занимаемой множеством, с выбранной единицей измерения.
Задача.
Мера множества, изображенного на рисунке, равна…
Решение.
Мерой данного множества будет площадь четверти круга, следовательно, если площадь круга , то площадь четверти круга .
Ответ..
Задача.
Мера плоского множества, изображенного на рисунке,
равна…
Решение.
Площадь заштрихованного треугольника и будет мера данного множества, следовательно, используя геометрический смысл определенного интеграла для нахождения площади, получим: .
Ответ. 1
studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования(0.007 с)...
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
;
6. 
;
;
8. 
;
9. 
;
10. 
;
11. 
;
12. 
;
14. 
;
15. 
;
16. 
;
17. 
;
18. 
.
и 
дифференцируемы в точке 
. Тогда:
1. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций:
.
2. Производная произведения двух функций равна:
3. Производная частного двух функций равна:
, если 
.
и 
.
Решение.
Воспользуемся формулой производной частного:
, т.е. 
.
Аналогичным образом получим формулу
.
и 
, тогда 
является сложной функцией переменной 
называют промежуточным аргументом.
Теорема.Если функция 
, а функция 
, то сложная функция 
в указанной точке 
или, коротко,
.
Решение.
Представим функцию как сложную, введя промежуточный аргумент 
, где 
. Тогда 
и, следовательно,
.
в некоторой точке 
, то обратная ей функция 
в соответствующей точке 
также имеет
производную 
, равную
.
Решение.
Пусть 
. Обратная ей функция имеет вид 
, где 
. В интервале 
имеем 
. Тогда по правилу дифференцирования обратной функции
,
где перед корнем взят знак +, так как 
при 
.
Итак, 
.
, т.е. не разрешенным относительно 
надо продифференцировать по 
.
Решение.
Функция 
.
Найдем производную, предварительно логарифмируя:
или
.
Решение.
Найдем логарифм данной функции 
или 
. Дифференцируя обе части этого равенства, получим
Отсюда 
Задача.
.
Решение.
Прологарифмируем данное равенство
Дифференцируя обе части последнего равенства, получим
.
то производная функции 
.
Решение.
Найдем 
и 
. Следовательно 
.
в точке 
имеет вид
.
Уравнение нормали, т.е. прямой, проходящей через точку 
перпендикулярно к касательной, имеет вид
.
в точке 
.
Решение.
Найдем производную функции 
. Имеем 
отсюда 
.
В результате получим искомые уравнения касательной 
или 
и уравнение нормали 
или 
.
.
Решение.
.
достаточно мало по абсолютной величине, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости, чем 
или
.
.
Решение.
Рассмотрим функцию 
и применяя формулу
,
получим 
.
Ответ. 0,513.
го порядка называют производную от производной 
го порядка. Производную 
или 
.
, если 
.
Решение.
;
.
Ответ. 60.
вычисляются по формулам
, если 
.
Решение.
.
или
.
Решение.
.
;
.
и 
дифференцируемы в 
окрестности точки 
и 
при всех 
или
т.е. частное 
имеет в точке 
неопределенность типа 
или 
, то
при условии, что существует предел отношения производных.
Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида 
, 
. Эти неопределенности путем элементарных преобразований можно свести к неопределенностям вида 
.
Решение.
Здесь имеет место неопределенность 
.
Последний предел дает неопределенность 
. Снова применим правило Лопиталя и получим
.
Задача.
Найти 
Решение.
.
Задача.
Найти 
Решение.
.
,
2. дифференцируема в интервале 
,
3. на концах отрезка принимает одинаковые значения: 
.
Тогда внутри отрезка 
найдется хотя бы одна точка 
, в которой производная 
.
Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции 
, если 
, 
? При каком значении 
?
Решение.
Так как функция 
непрерывна и дифференцируема при всех значениях 
и ее значения на концах отрезка 
равны:
.
, то теорема Ролля на этом отрезке выполняется. Значит с определяется из уравнения
;
;
.
Следовательно, 
Ответ. выполняется, 
, то найдется хотя бы одна точка 
.
Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Отношение 
есть угловой коэффициент секущей 
, а 
угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой 
.
на отрезке 
.
Решение.
Функция определена при всех значениях 
, а следовательно и на отрезке 
.
Найдем точку с, для которой выполняется равенство 
, где 
.
,
,
. Откуда 
, причем 
.
1. непрерывны на отрезке 
для всех 
, то найдется хотя бы одна точка 
и в некоторой точке 
этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке 
.
для 
, то эта функция возрастает (убывает) в интервале 
.
Решение. Найдем 
. Функция возрастает для всех значений 
. Решая неравенство 
, получим 
.
Аналогично, решая неравенство 
, получим 
.
Следовательно, функция возрастает в промежутках 
и 
и убывает в интервале 
.
имеет экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю, то есть 
(необходимое условие экстремума функции)
Теорема (достаточное условие экстремума).
непрерывна в некотором интервале содержащем критическую точку 
. Если функция 
(кроме, быть может, самой точки 
точка максимума; если 
.
Решение.
Очевидно, что 
. Находим 
. Определим критические точки: 
. Эти критические точки разбивают всю область определения функции на интервалы 
и 
. Полученные результаты удобно представить в виде следующей таблицы:
нет экстремума, а 
точка минимума. Минимум этой функции равен 
.
, 
;
3. из этих значений выбрать наибольшее и наименьшее.
на 
Решение.
Находим критические точки:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Наибольшее значение функции при 
равно -8.
называется вертикальной асимптотой графикафункции 
или 
.
имеет вертикальную асимптоту 
, так как 
и 
.
называется горизонтальной асимптотой графикафункции 
(или 
), если 
.
является горизонтальной асимптотой кривой 
.
; 
.
1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.
2) Наклонные асимптоты:
Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.
Построим график функции:
равна…
Решение.
Мерой данного множества будет площадь четверти круга, следовательно, если площадь круга 
, то площадь четверти круга 
.
Ответ. 
равна…
Решение.
Площадь заштрихованного треугольника и будет мера данного множества, следовательно, используя геометрический смысл определенного интеграла для нахождения площади, получим: 
.
Ответ. 1
