| 1 Формулы дифференцирования
|
1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6.  ;
| 7.  ;
8.  ;
9.  ;
10.  ;
11.  ;
12.  ;
| 13. 
14.  ;
15.  ;
16.  ;
17.  ;
18.  .
|
| 2 Основные правила дифференцирования
|
Пусть функции  и  дифференцируемы в точке  . Тогда:
1. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций:
 .
2. Производная произведения двух функций равна:
3. Производная частного двух функций равна:
 , если  .
| Задача.
Найти производные функций  и  .
Решение.
Воспользуемся формулой производной частного:
  , т.е.  .
Аналогичным образом получим формулу
 .
|
| 3 Производная сложной функции
|
Пусть  и  , тогда  является сложной функцией переменной , а переменную  называют промежуточным аргументом.
Теорема.Если функция имеет в некоторой точке производную  , а функция имеет в соответствующей точке производную  , то сложная функция  в указанной точке также имеет производную, которая находится по формуле
 или, коротко,
| Задача.
Найти производную функции  .
Решение.
Представим функцию как сложную, введя промежуточный аргумент :  , где  . Тогда  и, следовательно,
 .
|
| 4 Производная обратной функции
|
Теорема. Если функция  в некоторой точке имеет отличную от нуля производную  , то обратная ей функция  в соответствующей точке  также имеет
производную  , равную
| Задача.
Найти производную обратных тригонометрических функций  .
Решение.
Пусть  . Обратная ей функция имеет вид  , где  . В интервале  имеем  . Тогда по правилу дифференцирования обратной функции
 ,
где перед корнем взят знак +, так как  при  .
Итак,  .
|
| 5 Производная неявно заданной функции
|
Если функция задана неявным уравнением  , т.е. не разрешенным относительно , то для нахождения производной  надо продифференцировать по обе части этого уравнения, учитывая, что есть функция от , и затем разрешить полученное уравнение относительно .
| Задача.
Найти производную функции , заданную уравнением  .
Решение.
Функция задана неявно. Дифференцируя обе части этого тождества по , считая, что есть функция от и, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим
|
| 6 Логарифмическое дифференцирование
|
На практике встречаются функции, производные которых находят логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая степенно-показательная функция  .
Найдем производную, предварительно логарифмируя:
 или
| Задача.
 .
Решение.
Найдем логарифм данной функции  или  . Дифференцируя обе части этого равенства, получим
Отсюда 
Задача.
 .
Решение.
Прологарифмируем данное равенство
Дифференцируя обе части последнего равенства, получим
 .
|
| 7 Производная функции, заданной параметрически
|
Если функция аргумента задана параметрическими уравнениями
то производная функции по переменной , т.е. вычисляется по формуле:
 .
| Задача.
Решение.
Найдем  и  . Следовательно  .
|
| 8 Касательная и нормаль к графику функции
|
Уравнение прямой, касательной к графику  в точке  имеет вид
 .
Уравнение нормали, т.е. прямой, проходящей через точку  перпендикулярно к касательной, имеет вид
 .
| Задача.
Составить уравнение касательной и нормали к параболе  в точке  .
Решение.
Найдем производную функции при  . Имеем  отсюда  .
В результате получим искомые уравнения касательной  или  и уравнение нормали  или  .
|
| 9 Дифференциал функции
|
Дифференциал любой дифференцируемой функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной.
| Задача.
Найти дифференциал функции  .
Решение.
 .
|
| 10 Приближенное вычисление с помощью дифференциала
|
Если  достаточно мало по абсолютной величине, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости, чем , имеет место приближенное равенство:
 или
 .
| Задача.
Вычислить приближенное значение  .
Решение.
Рассмотрим функцию , полагая   и применяя формулу
  ,
получим 
  .
Ответ. 0,513.
|
| 11 Производные высших порядков
|
Производной  го порядка называют производную от производной  го порядка. Производную го порядка обозначают  или 
 .
| Задача.
Найти  , если  .
Решение.
 ;
 .
Ответ. 60.
|
| 12 Производные высших порядков, заданных параметрически
|
Если функция задана параметрически, то производные  вычисляются по формулам
| Задача.
Найти  , если   .
Решение.
 .
|
| 13 Дифференциалы высших порядков
|
Дифференциалом го порядканазывается дифференциал от дифференциала го порядка:
или
| Задача.
Найти дифференциалы второго и третьего порядков функции  .
Решение.
  
  .
  ;
   .
|
| 14 Правило Лопиталя
|
Пусть функции  и  дифференцируемы в  окрестности точки  и  при всех из этой окрестности, тогда, если
или
т.е. частное  имеет в точке  неопределенность типа  или  , то
при условии, что существует предел отношения производных.
Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида и . Но на практике встречаются неопределенности вида  ,  . Эти неопределенности путем элементарных преобразований можно свести к неопределенностям вида или .
| Задача.
Найти  .
Решение.
Здесь имеет место неопределенность . Применим правило Лопиталя, т.е. рассмотрим предел отношения производных заданных функций
 .
Последний предел дает неопределенность  . Снова применим правило Лопиталя и получим
 .
Задача.
Найти 
Решение.
  .
Задача.
Найти 
Решение.
 .
|
| | | | | | | | |
| 15 Теорема Ролля
|
Теорема (Ролля).Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:
1. непрерывна на отрезке  ,
2. дифференцируема в интервале  ,
3. на концах отрезка принимает одинаковые значения:  .
Тогда внутри отрезка  найдется хотя бы одна точка  , в которой производная обращается в нуль, т.е.  .
Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна оси 
| Задача.
Выполняется ли теорема Ролля для функции  , если  ,  ? При каком значении  ?
Решение.
Так как функция  непрерывна и дифференцируема при всех значениях  и ее значения на концах отрезка  равны:
 .
 , то теорема Ролля на этом отрезке выполняется. Значит с определяется из уравнения
 ;
 ;
 .
Следовательно, 
Ответ. выполняется, .
|
| 16 Теорема Лагранжа
|
Теорема (Лагранжа). Если функция
1. непрерывна на отрезке ,
2. дифференцируема в интервале  , то найдется хотя бы одна точка такая, что
 .
Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Отношение  есть угловой коэффициент секущей  , а  угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой  .
| Задача. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции  на отрезке  .
Решение.
Функция определена при всех значениях  , а следовательно и на отрезке . Функция дифференцируема на интервале  .
Найдем точку с, для которой выполняется равенство  , где  .
  ,
  ,
 . Откуда  , причем  .
|
| 17 Теорема Коши
|
Теорема (Коши). Если функции и 
1. непрерывны на отрезке ,
2. дифференцируемы в интервале , причем  для всех  , то найдется хотя бы одна точка такая, что
|
| 18 Теорема Ферма
|
Теорема (Ферма). Пусть функция определена на интервале  и в некоторой точке  этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна 0, то есть  .
|
| 19 Интервалы монотонности
|
Теорема (достаточные условия). Если функция дифференцируема в интервале и  для  , то эта функция возрастает (убывает) в интервале .
| Задача.
Определить интервалы монотонности функции  .
Решение. Найдем  . Функция возрастает для всех значений , для которых  . Решая неравенство  , получим  .
Аналогично, решая неравенство  , получим  .
Следовательно, функция возрастает в промежутках  и  и убывает в интервале  .
|
| 20 Экстремум функции
|
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками функции. Если дифференцируемая функция y=f(x) в точке  имеет экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю, то есть  (необходимое условие экстремума функции)
 Теорема (достаточное условие экстремума).
 непрерывна в некотором интервале содержащем критическую точку  . Если функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки  (кроме, быть может, самой точки ) и при переходе аргумента через нее слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то  точка максимума; если меняет знак с минуса на плюс, то точка минимума.
| Задача.
Найти экстремумы функции  .
Решение.
Очевидно, что  . Находим  . Определим критические точки:   . Эти критические точки разбивают всю область определения функции на интервалы  и  . Полученные результаты удобно представить в виде следующей таблицы:
Из таблицы видно, что в точке  нет экстремума, а  точка минимума. Минимум этой функции равен  .
|
| | | | | |
| 21 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
|
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо:
1. найти критические точки на ;
2. вычислить значения функции в найденных критических точках и в точках  ,  ;
3. из этих значений выбрать наибольшее и наименьшее.
| Задача.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на 
Решение.
Находим критические точки:
 ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  .
Наибольшее значение функции при равно 3.
Наименьшее значение функции при  равно -8.
|
| 22 Вертикальная асимптота
|
Прямая  называется вертикальной асимптотой графикафункции , если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке равен бесконечности, то есть  или  .
| Задача.
Кривая  имеет вертикальную асимптоту  , так как  и  .
|
| 23 Горизонтальная асимптота
|
Прямая  называется горизонтальной асимптотой графикафункции при  (или  ), если  .
| Задача.
Прямая  является горизонтальной асимптотой кривой , так как  .
|
| 24 Наклонная асимптота
|
Прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.
 ; 
| Задача.
Найти асимптоты и построить график функции  .
1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.
2) Наклонные асимптоты:
Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.
Построим график функции:
|
| 25 Мера плоского множества
|
| Мера множества, математическое понятие, обобщающее понятия длины отрезка, площади плоской фигуры и объёма тела на множества более общей природы. В качестве примера можно привести определение меры Лебега (введённой А. Лебегом в 1902) для ограниченных множеств, лежащих на плоскости. При определении меры Лебега, так же как и при определении площади плоских фигур в геометрии, исходят из сравнения части плоскости, занимаемой множеством, с выбранной единицей измерения.
|
Задача.
Мера множества, изображенного на рисунке,  равна…
Решение.
Мерой данного множества будет площадь четверти круга, следовательно, если площадь круга  , то площадь четверти круга  .
Ответ. .
Задача.
Мера плоского множества, изображенного на рисунке,
равна…
Решение.
Площадь заштрихованного треугольника и будет мера данного множества, следовательно, используя геометрический смысл определенного интеграла для нахождения площади, получим:  .
Ответ. 1
|
| | | | | |
