1. Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби (выделить целую часть).
2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.
Дробь правильная. Представим ее в виде суммы простейших дробей:
, приведем к общему знаменателю
3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
;
приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
;
Значит:
7. Интегрирование тригонометрических функций
7.1.
Необходимо преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность, пользуясь одной из следующих формул
а)
7.2. ,
где и - целые числа
Если m – нечетное положительное, то подстановка .
Если n – нечетное положительное, то подстановка .
Если - четное отрицательное, то подстановка .
Если и - четные неотрицательные, то применяются формулы:
;
б)
7.3.
Универсальная подстановка , тогда
; ;
; .
Если , то подстановка ;
Если , то подстановка ;
Если , то подстановка .
в)
8. Интегрирование иррациональных функций
8.1.
8.2.
8.3. Квадратичные
иррациональности
8.4. Интегралы типа
8.5. Дифференциальный
бином
,
где
- рациональные числа,
а, b – действительные числа
Приводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой , где - наименьшее общее кратное знаменателей дробей
Сводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой
Под радикалом выделить полный квадрат
и сделать подстановку
Подстановка
Подстановка
Подстановка
1-й случай
а) если р – целое положительное число, то нужно раскрыть скобки по биному Ньютона и вычислить интегралы от степеней;
б) если р – целое отрицательное число, то подстановка , где - наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n, приводит к интегралу от рациональной дроби;
2-й случай
если - целое число, то применяется подстановка , где - знаменатель дроби р;
3-й случай
если - целое число, то применяется подстановка , где - знаменатель дроби
Задача.
Первообразными функции являются
Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение.
Т.к. , то , тогда Ответ. №4
Задача.
Множество первообразных функции имеет вид
Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение.Ответ. №1
Задача.
В неопределенном интеграле введена новая переменная . Тогда интеграл принимает вид
Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение.Ответ. №4
Задача.
Установите соответствие между интегралом и его значением
1. 2. 3. 4.
Варианты ответов: а) в) с) d) е) Решение.
1)
2)
3) 4) Ответ.
studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования(0.006 с)...
, 
2) 
3) 
б) 
б) 
в) 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
.
б) 
2) 
3) 
б) 
2) 
3) 
б) 
в) 
.
Дробь 
правильная. Представим ее в виде суммы простейших дробей:
, приведем к общему знаменателю
;
приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
; 
Значит:
,
где 
и 
- целые числа
.
Если n – нечетное положительное, то подстановка 
.
Если 
- четное отрицательное, то подстановка 
.
Если 
; 
, тогда
; 
;
; 
.
Если 
, то подстановка 
, то подстановка 
, то подстановка 
8.2. 
8.3. Квадратичные
иррациональности
8.4. Интегралы типа
8.5. Дифференциальный
бином
,
где
- рациональные числа,
а, b – действительные числа
, где 
- наименьшее общее кратное знаменателей дробей 
Сводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой 
Под радикалом выделить полный квадрат
и сделать подстановку 
Подстановка 
Подстановка 
Подстановка 
1-й случай
а) если р – целое положительное число, то нужно раскрыть скобки 
по биному Ньютона и вычислить интегралы от степеней;
б) если р – целое отрицательное число, то подстановка 
- целое число, то применяется подстановка 
, где 
- целое число, то применяется подстановка 
, где 
являются
Варианты ответов: 1) 
2) 
3) 
4) 
Решение.
Т.к. 
, то 
, тогда 
Ответ. №4
Задача.
Множество первообразных функции 
имеет вид
Варианты ответов: 1) 
2) 
3) 
4) 
Решение.
Ответ. №1
Задача.
В неопределенном интеграле 
введена новая переменная 
. Тогда интеграл принимает вид
Варианты ответов: 1) 
2) 
3) 
4) 
Решение.
Ответ. №4
Задача.
Установите соответствие между интегралом и его значением
1. 
2. 
3. 
4. 
Варианты ответов: а) 
в) 
с) 
d) 
е) 
Решение.
1) 
2) 
3) 
4) 
Ответ. 
