Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Глава 11. Функции нескольких переменных



1 Область определения функции нескольких переменных
Пусть даны два числовых множества и , где некоторая область из пространства , а некоторое подмножество множества . Если каждой паре чисел по некоторому правилу (закону) поставлено в соответствие единственное число , то говорят, что на множестве задана функция двух переменных . При этом и называются независимыми переменными (или аргументами), зависимой переменной (или функцией), множество областью определения функции, а множеством значений функции.
 
 

Задача.

Найти область определения функции .

Решение. Функция определена при условии , т.е. . Это круг с центром в начале координат и радиусом 1, включающий свою границу, т.е. окружность .

2 Предел функции нескольких переменных
Число называется пределом функции при , если для любого числа найдется такая окрестность точки , что для любой точки из этой окрестности (за исключением, быть может, точки ) имеет место неравенство . При этом пишут или , так как при , очевидно , ,..., . Задача. Найти предел . Решение. . Ответ. 2.
3 Частные производные функции нескольких переменных
Частной производной функции по переменной , в точке называется предел (если таковой существует) отношения частного приращения к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю: Аналогично определяется частная производная Для обозначения частных производных функции двух переменных применяются следующие символы: .   Задача. Найти частные производные функции . Решение.  
4 Частные производные высших порядков
Пусть имеем некоторую функцию от двух переменных и . Ее частные производные и являются функциями от переменных и . В некоторых случаях для этих функций существуют снова частные производные, называемые частными производными второго порядка (или просто вторыми частными производными): , , , . Теорема.Если в некоторой окрестности точки производные и существуют и непрерывны в самой точке , то они равны между собой в этой точке, т.е. имеет место равенство: . Задача. Пусть Имеем , , , , .  
5 Производная сложной функции. Случай одной независимой переменной.
Теорема. Если функции и дифференцируемы в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , то сложная функция также дифференцируема в точке и имеет место формула . Задача. Пусть , где . Решение. .  
Если , . Тогда является сложной функцией переменной , где . Задача. Пусть , где . Решение. .
6 Производная сложной функции. Случай нескольких независимых переменных.
Если функции , дифференцируемы в точке , а функция дифференцируема в точке , где , то сложная функция дифференцируема в точке , причем ее частные производные в этой точке находятся по формулам Задача. Пусть , , Решение.  
7 Полный дифференциал функции
Выражение называется полным приращениемфункции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a1 и a2 – бесконечно малые функции при Dх ® 0 и Dу ® 0 соответственно. Полным дифференциаломфункции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у). Для функции произвольного числа переменных: Задача. Найти полный дифференциал функции .
8 Производная неявно заданной функции
Если - дифференцируемая функция переменных , и в некоторой области D и , то уравнение определяет однозначно неявную функцию , также дифференцируемую, и , Задача. Найти производную неявной функции , заданной уравнением , и вычислить ее значение в точке . Решение. Введем обозначение . Тогда . Следовательно, и .
9 Приближенные вычисления с помощью дифференциала
В приближенных вычислениях пользуются данной формулой.   Задача. Вычислить приближенно с помощью дифференциала . Решение. Рассмотрим функцию . или . Положим теперь ; тогда . Следовательно, . Или .
10 Касательная плоскость к поверхности
 
 
 

Плоскость, проходящая через точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке , если угол между секущей и этой плоскостью стремится к нулю, когда расстояние стремится к нулю, каким бы образом точка на поверхности ни стремилась к точке .

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке , если плоскость задана неявно:

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке , если плоскость задана явно:





Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 427 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...