 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Глава 11. Функции нескольких переменных
|
|
| 1 Область определения функции нескольких переменных | ||||
Пусть даны два числовых множества  и  , где  некоторая область из пространства  , а  некоторое подмножество множества  . Если каждой паре чисел  по некоторому правилу (закону) поставлено в соответствие единственное число  , то говорят, что на множестве задана функция двух переменных  . При этом  и  называются независимыми переменными (или аргументами),  зависимой переменной (или функцией), множество областью определения функции, а множеством значений функции.
|
Задача. Найти область определения функции Решение. Функция определена при условии | |||
| 2 Предел функции нескольких переменных | ||||
Число  называется пределом функции  при  , если для любого числа  найдется такая  окрестность точки  , что для любой точки  из этой окрестности (за исключением, быть может, точки ) имеет место неравенство  .
При этом пишут  или  , так как при  , очевидно  ,  ,...,  .
| Задача.
Найти предел  .
Решение.
 .
Ответ. 2.
| |||
| 3 Частные производные функции нескольких переменных | ||||
Частной производной функции по переменной , в точке  называется предел (если таковой существует) отношения частного приращения  к приращению аргумента  при стремлении последнего к нулю:
Аналогично определяется частная производная
Для обозначения частных производных функции двух переменных применяются следующие символы:
 .
| Задача.
Найти частные производные функции  .
Решение.
| |||
| 4 Частные производные высших порядков | ||||
Пусть имеем некоторую функцию  от двух переменных и . Ее частные производные  и  являются функциями от переменных и . В некоторых случаях для этих функций существуют снова частные производные, называемые частными производными второго порядка (или просто вторыми частными производными):
 ,
 ,
 ,
 .
Теорема.Если в некоторой окрестности точки производные  и  существуют и непрерывны в самой точке , то они равны между собой в этой точке, т.е. имеет место равенство:
 .
| Задача.
Пусть 
Имеем  ,
 ,
 ,
 ,  .
| |||
| 5 Производная сложной функции. Случай одной независимой переменной. | ||||
Теорема. Если функции  и  дифференцируемы в точке  , а функция дифференцируема в соответствующей точке  , то сложная функция  также дифференцируема в точке и имеет место формула
 .
| Задача.
Пусть  , где  .
Решение.
 .
| |||
Если  ,  . Тогда  является сложной функцией переменной  , где
 .
| Задача.
Пусть  , где  .
Решение.
  .
| |||
| 6 Производная сложной функции. Случай нескольких независимых переменных. | ||||
Если функции  ,  дифференцируемы в точке  , а функция дифференцируема в точке  , где , то сложная функция  дифференцируема в точке , причем ее частные производные в этой точке находятся по формулам
| Задача.
Пусть  ,  , 
Решение.
| |||
| 7 Полный дифференциал функции | ||||
Выражение  называется полным приращениемфункции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a1 и a2 – бесконечно малые функции при Dх ® 0 и Dу ® 0 соответственно.
Полным дифференциаломфункции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у).
Для функции произвольного числа переменных:
| Задача.
Найти полный дифференциал функции  .
| |||
| 8 Производная неявно заданной функции | ||||
Если  - дифференцируемая функция переменных ,  и  в некоторой области D и  , то уравнение  определяет однозначно неявную функцию  , также дифференцируемую, и
 , 
| Задача.
Найти производную неявной функции , заданной уравнением  , и вычислить ее значение в точке  .
Решение. Введем обозначение  . Тогда  . Следовательно,
 и  .
| |||
| 9 Приближенные вычисления с помощью дифференциала | ||||
В приближенных вычислениях пользуются данной формулой.
| Задача.
Вычислить приближенно с помощью дифференциала  .
Решение.
Рассмотрим функцию  .
или
 .
Положим теперь  ; тогда
 . Следовательно,
 .
Или  .
| |||
| 10 Касательная плоскость к поверхности | ||||
Плоскость, проходящая через точку  , называется касательной плоскостью к поверхности в точке , если угол между секущей  и этой плоскостью стремится к нулю, когда расстояние стремится к нулю, каким бы образом точка  на поверхности ни стремилась к точке .Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке
Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 428 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!  |
.
, т.е. 
. Это круг с центром в начале координат и радиусом 1, включающий свою границу, т.е. окружность 
.
, если плоскость задана неявно:
