Функции от величин, полученных из измерений (эксперимента)

1. Предположим, что для определения площади круга мы измерили его радиус . При этом, как и при всяком измерении, величина найдена с некоторой случайной ошибкой. Предположим далее, что в результате измерений нами найдено наиболее вероятное значение с средней квадратической ошибкой . Спрашивается, каково будет при этом наиболее вероятное значение площади и ее средняя квадратичная ошибка ?

2. Предположим, что для определения площади квадрата , мы измерили его сторону x и после многократных измерений нами найдено ее наиболее вероятное значение со средней квадратической ошибкой . Каково наиболее вероятное значение площади квадрата и его средняя квадратическая ошибка?

3. Предположим, что для определения площади прямоугольника , мы измерили его стороны x, у и после многократных измерений нами найдены их наиболее вероятные значения , со средними квадратическими ошибками Каково наиболее вероятное значение площади прямоугольника и его средняя квадратическая ошибка?

4. Предположим, что для определения объема прямоугольного параллелепипеда V=xyz, мы измерили его ребра x, у, z и после многократных измерений нами найдены их наиболее вероятные значения , со средними квадратическими ошибками . Каково наиболее вероятное значение объема прямоугольного параллелепипеда и его средняя квадратическая ошибка?

Дадим постановку задачи в общем случае.

Дана функция независимых переменных . Предполагается, что в результате многократных измерений определены наиболее вероятные значения и их средние квадратичные ошибки

..., . Требуется, исходя из этих значений, определить наиболее вероятное значение функции и, ее среднюю квадратичную ошибку .

Допустим, что мы нашли наиболее вероятные значения аргумента

и их средние квадратичные ошибки , ,..., . Метод наименьших квадратов для функций многих переменных утверждает, что наиболее вероятным значением функции будет число и средняя квадратичная ошибка будет равна где - значения частных производных в точке .

Теперь мы можем дать ответ на 4 поставленные ранее вопроса. 1. Если наиболее вероятное значение радиуса круга найдено со средней квадратичной ошибкой , то наиболее вероятным значением площади круга будет значение со средней квадратичной ошибкой .

2. Если наиболее вероятное значение стороны квадрата найдено со средней квадратичной ошибкой , то наиболее вероятным значением площади квадрата будет число со средней квадратичной ошибкой .

3. Наиболее вероятным значением площади прямоугольника будет число со средней квадратической ошибкой .

4. Наиболее вероятным значением объема прямоугольного параллелепипеда будет число со средней квадратической ошибкой

Варианты индивидуальных домашних заданий для студентов