Средняя арифметическая измеренных значений и средняя квадратическая ошибка

Пусть результатами измерений некоторой величины А являются числа . Возникает вопрос, каково наиболее вероятное значение измеряемой величины?

Принцип наименьших квадратов утверждает, что наиболее вероятным значением измеряемой величины является такое его значение, для которого сумма квадратов разностей этого значения и результатов измерений является наименьшей.

Пусть наиболее вероятное значение измеряемой величины А равно х, тогда сумма квадратов отклонений

. (3.1)

Мы требуем, чтобы величина была минимальной. Используя необходимое условие существования экстремума функции одной переменной, приравниваем к нулю первую производную , тогда или , , или .

Так как вторая производная , то при этом значении x сумма квадратов отклонений (3.1) будет минимальной.

Таким образом, наиболее вероятным значением измеряемой величины А является среднее арифметическое измеренных значений и обозначим его через или . (3.2)

Принимая за истинное значение измеряемой величины среднее арифметическое, мы можем допустить некоторую ошибку. В методе наименьших квадратов доказано, что при этом мы можем совершить ошибку, не превосходящую величины . (3.3)

Эта величина называется средней квадратичной ошибкой.

При наличии большого числа измерений и при больших значениях удобно не вычислять среднее арифметическое значений непосредственно, а поступить иначе.

Среди результатов измерений нужно выбрать некоторый «условный нуль» и рассматривать вместо результатов измерений их отклонения от , т. е. .

Далее, найти среднее арифметическое этих отклонений , .

Таким образом, , тогда или .

Из последней формулы следует, что для нахождения среднего арифметического измеренных значений, достаточно к произвольно выбранному значению прибавить среднее арифметическое отклонений от измеренных значений. В этом случае в расчётах не придётся иметь дело с большими числами , а только с их отклонениями от «условного нуля» .

Пример. Даны 5 измерений диаметра трубы 31,6; 30,8; 30,7; 31,2; 31,2.

Найти наиболее вероятное значение диаметра трубы и среднюю квадратичную ошибку .

Решение. Вычислим среднее арифметическое измеренных значений по формуле (3.2) и среднюю квадратичную ошибку по формуле (2.3). Для этого вычислим , тогда = ≈ .

В качестве наиболее вероятного значения измеряемой величины можно взять с ошибкой, не превосходящей примерно .