Решение уравнений теплопроводности методом разделения переменных

ЗАДАЧА 14. Дан тонкий однородный стержень длиной , боковая поверхность которого теплоизолирована. Начальная температура стержня известна. Конец стержня поддерживается при температуре, равной нулю, а на конце происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой считается равной нулю.

Определить температуру стержня в момент .

Решение. Математическая постановка задачи (см. задачу №7):

; (1.22)

; (1.23)

. (1.24)

Обычным способом для нахождения частного решения вида получаем

(1.25)

(1.26)

. (1.27)

Подстановка общего решения уравнения (1.26)

в условия (1.27) дает . Полагая , получим для определения уравнение

, (1.28)

которое можно записать в виде . (1.29)

Согласно общей теории, уравнение (1.28), следовательно, и уравнение (1.29) должны иметь счетное множество решений

Непосредственное доказательство этого факта, а также приближенное вычисление значений может быть проведено графическим методом. Значения находятся как абсциссы точек пересечения кривых и прямой в плоскости; рекомендуем читателю сделать чертеж.

Таким образом, собственные значения и собственные функции задачи Штурма - Луивилля (1.26), (1.27) есть

, (1.30)

при этом нам достаточно взять только положительные значения , т.к. при отрицательных значениях собственные функции отличаются только знаком от найденных.

Найдя затем из (1.25) при , запишем общее решение в виде . (1.31)

Из начального условия получаем

. (1.32)

Предполагая, что удовлетворяет условиям теоремы Стеклова, заключаем, что (1.32) действительно будет удовлетворено, если положить

.

Учитывая, что удовлетворяет уравнению (1.29), нетрудно показать, что

.