Уравнения гиперболического типа

, (*)

где - проекция силы на ось Ox, с которой часть стержня, лежащая правее сечения, абсцисса которого в состоянии равновесия равна , действует на часть, лежащую левее этого сечения. Сила перпендикулярна поперечному сечению и, следовательно, ее направление либо совпадает с направлением оси Ox, либо противоположно ему; - площадь поперечного сечения; - модуль упругости. Отметим, что закон Гука имеет место в случае, когда колебания достаточно малы.

Приступаем к выводу дифференциального уравнения. Рассмотрим элемент стержня, торцы которого в состоянии равновесия имеют абсциссы и (рис. 2.1).

Рис. 2.1

На основании закона Гука, проекции сил упругости и , действующие на элемент со стороны правого и левого торца, соответственно равны , ,

а проекция равнодействующей

,

здесь мы применили теорему о конечных приращениях.

При достаточно малом можно рассматриваемый элемент заменить приближенно материальной точкой с массой ,

где - плотность стержня в невозмущенном состоянии, и записать для него второй закон Ньютона

,

где - координата центра тяжести элемента. Сокращая на и переходя к пределу при , получим дифференциальное уравнение малых продольных колебаний стержня:

, где . (2.1)

Начальные условия задачи запишутся в виде

, (2.2)

где и - заданные функции; причем - смещение поперечных сечений стержня, а - скорость этих сечений в начальный момент .

Приступаем к выводу граничных условий.

Случаи (а) и (а¢) очевидны.

а) ; (2.3)

а¢) , (2.3¢)

- заданные функции.

При выводе граничных условий в случае б) применим те же рассуждения, что и при выводе уравнения (1), с той лишь разницей, что теперь надо рассматривать граничные элементы и .

При этом сила упругости будет приложена к торцу с абсциссой , соответственно , к концам же стержня приложены внешние силы и (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Запишем второй закон Ньютона для правого граничного элемента:

.

Переходя здесь к пределу при , получим

б) . (2.4)

Совершенно аналогично получим условие для левого конца:

б¢) . (2.4¢)

В случае свободных концов и, следовательно,

б¢¢) , . (2.5)

Наконец, в случае упругого закрепления

,

где k – коэффициент упругости заделки, после чего получаем из (2.4), (2.4¢)

; (2.6)

в) , . (2.6’)

Задача формулируется так.

В области найти непрерывную функцию так, чтобы она удовлетворяла уравнению (2.1), начальным условиям (2.2) и граничным условиям одного из следующих типов (2.3); (2.3¢); (2.4); (2.4¢); (2.5) или (2.6), (2.6¢).

ЗАДАЧА 2. На упругий прямолинейный стержень длины , концы которого закреплены жестко, действует внешняя сила , рассчитанная на единицу его объема и направленная вдоль оси стержня.

Поставить задачу о малых продольных колебаниях стержня, если при его поперечные сечения были неподвижны и находились в неотклоненном положении.

Указание. Дифференциальное уравнение выводится так же, как в задаче 1, только надо учесть действие внешней силы.

ЗАДАЧА 3. Начиная с момента , один конец прямолинейного упругого стержня совершает продольные колебания по заданному закону, а к другому приложена сила , направленная по оси стержня.

Поставить задачу о малых продольных колебаниях стержня при тех же начальных условиях, что и в задаче 2.

ЗАДАЧА 4. Верхний конец упругого однородного вертикально подвешенного тяжелого стержня жестко прикреплен к потолку свободно падающего лифта, который, достигнув скорости , мгновенно останавливается.

Поставить задачу о продольных колебаниях этого стержня.

Указание. Направим ось Ox вертикально вниз и примем верхний конец стержня (в момент остановки) за начало координат. Дифференциальное уравнение получим, используя результат задачи 2. В настоящем случае на единицу объема действует внешняя сила , где - ускорение силы тяжести, - плотность.

Таким образом, получаем следующее уравнение:

; .

Так как верхний конец закреплен, а нижний конец свободен, то граничные условия имеют вид

.

В момент остановки стержня его поперечные сечения находятся в не отклоненном состоянии, но им сообщена постоянная скорость , следовательно, начальные условия имеют вид

.

ЗАДАЧА 5. Поставить задачу о малых поперечных колебаниях струны длины с закрепленными концами, которая оттягивается в точке на небольшое расстояние от положения равновесия и в момент времени отпускается без начальной скорости.

Указание. Уравнение малых поперечных колебаний струны имеет вид

,

где - отклонение струны от положения равновесия, , - натяжение струны, - линейная плотность струны.

ЗАДАЧА 6. Однородная струна длины , закрепленная на обоих концах, находится в прямолинейном положении равновесия. В момент она получает удар от плоского молоточка, имеющего постоянную скорость .

Поставить задачу для определения отклонения струны при , если ширина молоточка равна , а его центр ударяет по точке .