Решение уравнения Лапласа методом разделения переменных

ЗАДАЧА 15. Найти решение первой граничной задачи (задачи Дирихле) для уравнения Лапласа внутри прямоугольника: при произвольных граничных условиях.

Задача Дирихле состоит в нахождении функции , непрерывной в замкнутом прямоугольнике , по условиям:

, (1.33)

, (1.34)

, (1.35)

причем

. (1.36)

Последние условия обеспечивают непрерывность граничной функции в вершинах прямоугольника.

Решение. Не нарушая общности, можно предполагать, что все значения в (1.36) равны нулю, так как к этому случаю можно привести любую задачу. Для этого надо представить решение в виде

где

при ,

.

Для функции получим задачу Дирихле при нулевых значениях в вершинах прямоугольника. Итак, будем решать задачу (1.33) –(1.36), предполагая, что все значения в (1.36) есть нули.

Представим решение в виде

, (1.37)

где и удовлетворяют уравнению Лапласа и следующим граничным условиям:

(1.38)

, (1.39)

, (1.40)

. (1.41)

(При сделанном предложении непрерывность граничных значений сохранена).

Функции и можно найти методом разделения переменных. Проведем решение для функции .

Ищем частные решения уравнения Лапласа, удовлетворяющие условиям (1.40) вида

. (1.42)

Подстановка (1.42) в (1.33) дает

или , (1.43)

. (1.44)

Подстановка (1.42) в (1.40) дает

. (1.45)

Задача Штурма - Лиувилля (1.44), (1.45) имеет решение:

Общее решение уравнения (1.43) при можно записать в виде

.

Общее решение задачи ищем, как обычно, в виде ряда

. (1.46)

Удовлетворим теперь граничным условиям (1.39), которые содержат заданные произвольные функции:

,

,

откуда получаем ,

,

и, наконец,

.

Подстановка этих значений в (1.46) дает после несложных преобразований

.

Совершенно аналогично найдем

,

где

,

.

Окончательное решение:

.