Регулярность изображения

Интеграл Лапласа является функцией комплексной переменной p. Для этой функции справедлива следующая важная теорема:

Теорема 2.1

Для всякого оригинала f (t) изображение g (p) определено в полуплоскости Rep>s_o, где s_o – показатель роста f (t), и является в этой полуплоскости аналитической функцией.

Приведем доказательство только первой части теоремы.

Так как то g(p) определена в тех точках плоскости комплексной переменной p, где интеграл Лапласа сходится. Покажем, что он сходится для всех точек полуплоскости .

Если , учитывая, во - первых, что модуль интеграла не больше интеграла модуля; во–вторых, что и в третьих, неравенство (2.1) будем иметь

(2.5)

то есть интеграл Лапласа сходится в полуплоскости Re p > s_o, а потому g (p) определена в этой полуплоскости.

Для изображения g (p) ее производная также определена в полуплоскости Rep>s_o и

Это означает, что является изображением функции – tf (t), т.е.

(2.6)

Следствие. Если функция g (p) является изображением, то при .

Действительно, для модуля g (p) мы получили оценку (2.5), то есть

Правая часть этого неравенства стремится к нулю при следовательно, и когда