Уравнения параболического типа

ЗАДАЧА 7. Поставить задачу об определении температуры стержня с теплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температура является произвольной функцией x; рассмотреть случаи, когда

а) концы стержня поддерживаются при заданной температуре;

б) на концы стержня подается извне заданный тепловой поток;

б¢) концы стержня теплоизолированы;

в) на концах стержня происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой задана.

Решение. Если стержень нагрет неравномерно, то в нем возникают тепловые потоки, причем тепло переносится из мест с более высокой температурой в места с более низкой температурой. Направим ось Ox вдоль стержня и предположим, что во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. За величину, характеризующую процесс, возьмем температуру . Идеализация явления будет состоять в том, что мы будем изучать перенос тепла из одних точек в другие и связанное с ним изменение температуры, не касаясь молекулярной природы процесса и не интересуясь остальными его проявлениями.

При выводе дифференциального уравнения будем использовать следующие законы:

1) закон сохранения энергии;

2) количество тепла, которое необходимо сообщить малому элементу тела , чтобы повысить его температуру на , равно

, (2.7)

где – удельная теплоемкость, а - плотность элемента;

3) закон внутренней теплопроводности (закон Фурье). Количество тепла, протекающего через малую площадку внутри тела в сторону нормали к этой площадке, за малый промежуток времени равно

, (2.8)

где - коэффициент теплопроводности;

4) закон конвективного теплообмена между поверхностью твердого тела и окружающей жидкой или газообразной средой (закон Ньютона).

Количество тепла, входящего в тело через малую площадку на границе тела за время , равно

, (2.9)

где - коэффициент теплообмена, а - температура окружающей среды.