Оригинал и изображение

Мы переходим к изучению метода преобразования Лапласа (операционного исчисления), получившего распространение немногим более полувека назад. В настоящее время преобразование Лапласа (операционное исчисление) приобрело широкую известность приложениями к вопросам физики и техники, став, например, основным методом решения задач теории переходных процессов в электрических цепях и теории теплопроводности.

Оригиналом мы будем называть любую комплексную функцию f(t) действительного аргумента t, определенную на всей числовой оси и удовлетворяющую условиям:

1) f(t) непрерывнана всей оси t за возможным исключением точек разрыва первого рода в конечном числе точек на каждом интервале конечной длины;

2) f(t) =0 при t <0;

3) существуют числа М>0 и s₀≥0 такие, что для всех t

(2.1)

Если для s₀ выполняется условие , то оно будет выполняться и для всех s>s_o, так как < при t>0.

Число s_o, для которого выполняется условие (2.1) назовем показателем роста функции f (t).

Так, например, для ограниченной функции число 0 является показателем роста.

В силу условия 1 оригиналы, ни при каком значении t не обращаются в бесконечность. Следовательно, функции или tg t не являются оригиналами и из рассмотрения исключаются.

Условие 2, требующее обращения оригиналов в нуль при t<0, практически не является стеснительным, так как при решении дифференциальных уравнений, соответствующих физическим задачам (а для этого вообще говоря, и строится операционное исчисление), интересующими нас значениями функций являются значения, начиная с момента, данного в начальном условии, а за таковой всегда можно принять момент t=0.

Для краткости мы будем записывать лишь то выражение оригинала f (t), которое он имеет при t≥0, но нужно помнить об условии 2. Так что, если написано f (t)= t³, то это нужно понимать так

Условие 3 требует, чтобы оригиналы при t→ ∞ были или ограничены или стремились к бесконечности, но не быстрее, чем показательная функция вида (2.1). Так, например, функция не является оригиналом, так как при t→ ∞ растет быстрее, чем разрешает условие 3.

Изображением функции f (t) называют функцию комплексной переменной определяемую соотношением

(2.2)

Интеграл в правой стороне этого равенства называют интегралом Лапласа. Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению g(p) называют преобразованием Лапласа. Фразу «оригинал f(t) имеет изображением g(p)» записывают символически

или

Операционным исчислением мы будем называть теорию преобразования Лапласа.

Практическая ценность операционного исчисления состоит, как выяснится в дальнейшем, в том, что дифференцированию оригиналов соответствует умножение их изображений на p, а интегрированию оригиналов – деление их изображений на p, то есть сложным операциям над оригиналами соответствуют простые операции над их изображениями.

С подобным положением мы сталкивались в теории логарифмов, где операции умножения чисел соответствовала операция сложения их логарифмов, то есть более сложной операции над числами соответствовала более простая операция над их логарифмами.

Это обстоятельство предопределяет и аналогию между схемами практических приложений логарифмов и операционного исчисления к решению уравнений.

Схема применения логарифмов такова:

1) от чисел и неизвестных величин переходят к их логарифмам;

2) совершают соответствующие более простые
действия над логарифмами, находя значение логарифма неизвестной величины;

3) по найденному логарифму искомой величины находят эту величину.

Схема применения операционного исчисления аналогична:

1) переходят от данных функций к их изображениям;

2) совершают соответствующие более простые операции над полученными изображениями, находя изображение искомой функции;

3) по найденному изображению искомой функции находят оригинал.

Схема применения логарифмов реализуется с помощью таблиц чисел и их логарифмов; схема применения операционного исчисления реализуется с помощью таблиц оригиналов и их изображений.

Таблицы логарифмов составляются, как известно из курса анализа, с помощью приближенных вычислений сумм степенных рядов. Таблицы изображений составляются или непосредственно на основе их определения интегралом Лапласа, или с помощью теорем операционного исчисления, рассматриваемых ниже. Приведем примеры непосредственного получения изображений.

Пример 1. Будем называть единичной функцией функцию, определенную так:

График этой разрывной функции изображен на рисунке 29.

Она, очевидно, является оригиналом, найдем ее изображение:

при Rep>0,

ибо

при t→∞.

Итак, (2.3)

Пример 2. Найдем изображение оригинала где q– произвольное комплексное число:

если Re (p-q) > 0, то есть Re p > Re q.

Итак, . (2.4)

Пример 3. Найдем изображение оригинала f(t)=cos t, где – действи–тельное число:

Итак,