Понятие об уравнениях линий и поверхностей

Пусть на плоскости задана некоторая линия l. Выберем какую-либо систему координат, например, прямоугольную систему координат XOY.

Уравнение F(x,y)=0 называется общим уравнением линии в системе координат XOY, если ему удовлетворяют координаты любой точки M, принадлежащей линии l, и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих этой линии.

Линией первого порядка на плоскости называется множество точек, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

(2.1)

Линией второго порядка на плоскости называется множество точек, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

(2.2)

Часто удается выразить координаты произвольной точки M(x,y) линии l через некоторую вспомогательную величину (параметр) t:

, (2.3)

Если при изменении t в некотором промежутке эти формулы дадут координаты любой точки, лежащей на линии l, и не дадут координаты никаких других точек, то , называется параметрическими уравнениями линии l.

Уравнение поверхности в пространстве определяется аналогично уравнению линии на плоскости. Равенство F(x,y)=0 называется уравнением поверхности S в данной системе координат Oxyz, если координаты всех точек поверхности S_(s), удовлетворяют этому равенству, а координаты точек, не лежащих на S, ему не удовлетворяют.

Параметрические уравнения линии в пространстве имеют вид

, - параметр (2.4)

а поверхности

, где - параметры (2.5)