Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не изменяется:

а). Если перемножаемые вектора переставлять в круговом порядке:

б). Если поменять местами знаки векторного и скалярного умножения:

Это позволяет записывать смешанное произведение трех векторов в виде без знаков векторного и скалярного умножения.

2. Перестановка в смешанном произведении любых двух векторов изменяет лишь его знак:

, , .

Действительно, используя равенства

;

имеем:

3. Смешанное произведение обращается в нуль, если:

а). Хотя бы один из перемножаемых векторов ест нуль - вектор,

б). Два из перемножаемых векторов коллинеарны,

в). Три перемножаемых вектора компланарны.