Введение. Создание в ХVIII веке теории матриц и определителей было связано с изучением систем линейных уравнений

Создание в ХVIII веке теории матриц и определителей было связано с изучением систем линейных уравнений. Для таких систем были получены формулы, позволяющие выразить решения через коэффициенты при неизвестных и свободные члены.

В ХІХ веке У. Гамильтон, Г. Грассман и другие математики в своих работах ввели векторы, хотя до этого они встречались в трудах Архимеда, Г. Галилея и других корифеев науки, но имели на тот момент только механический смысл.

Применяемые в рамках евклидовой геометрии векторные методы значительно упрощают доказательства многих теорем и решение задач. Например, теорема косинусов, теорема о трех перпендикулярах и другие, которые изучались в школьном курсе, имели довольно громоздкие доказательства, а применение скалярного произведения векторов значительно упрощает процесс доказательства.

Но роль векторов состоит не только в упрощении трудных мест школьного курса. Гораздо важнее то, что векторные методы находят сейчас широкое применение в физике, химии, экономике, биологии, не говоря уже о многих разделах современной математики. Студентам специальности «Оборудование» интересно будет узнать, что скалярное произведение вектора силы и вектора перемещения представляет собой работу, выполненную силой по перемещению материальной точки; а векторное произведение вектора тока и вектора напряженности магнитного поля – силу воздействия этого поля на проводник и т.д.

Впоследствии при рассмотрении многомерных пространств, скалярное произведение приобрело еще большее значение и стало мощным рабочим инструментом, применяемым буквально во всех областях математики и ее приложениях.

Целью данной методической разработки является оказание помощи студентам в освоении таких тем как матрицы и векторы. Эти темы не случайно объединены: они являются одними из первых, которые изучаются на первом курсе специальностей ОБ, ТН и др., кроме того они тесно связаны между собой. Например, нахождение векторного или смешанного произведений требуют наличия определенных знаний по вычислению определителя, решение систем линейных уравнений основывается на знании способов вычисления определителей и умении производить необходимые действия над матрицами и т.д.

Самостоятельную работу в соответствии с этой методической разработкой студентам рекомендуется проводить в следующем порядке:

Ø прочитать теоретический материал и разобрать решение типовых задач (лучше, если потом эти задания будут решены самостоятельно);

Ø решить задания проверочного теста;

Ø проверить свои результаты, сравнив с ответами теста;

Ø если ответы не совпадают или решение каких-либо задач вызвало трудность, то с помощью методических указаний следует вновь обратиться к теоретическому материалу;

Ø решить контрольную работу по своему варианту, тем самым закрепив свои знания.

I. М а т р и ц ы

Основные понятия

Матрицей называется множество чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы, имеющей строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.

.

Для сокращения записи матрицу можно представить в компактном виде , (; ), где индекс обозначает номер строки, индекс – номер столбца матрицы.

Матрица, имеющая строк и столбцов, называется матрицей размера .

Если число строк матрицы равно числу столбцов , то матрица называется квадратной порядка .

Среди квадратных матриц отметим диагональные матрицы, у которых все элементы с неравными индексами равны нулю:

.

Элементы расположены на главной диагонали.

Диагональные матрицы, все отличные от нуля элементы которых равны между собой , называются скалярными матрицами. Если , то скалярная матрица называется единичной. Единичную матрицу принято обозначать буквой :

.

Матрица , все элементы которой равны нулю, называется нулевой, и ее обозначают 0:

.

Две матрицы и одного и того же размера называются равными, если все их соответствующие элементы равны. Т.е. , если для всех и .