Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла

Пусть на отрезке задана функция (рис. 10.1).

Разобьем отрезок на элементарных отрезков точками , где . На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида будем называть интегральной суммой для функции на отрезке .

Обозначим через максимальную из длин отрезков , т.е. .

Определение. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при , т.е.

. (10.1)

- нижний предел, - верхний предел, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение.

Замечание 1. Переменную под знаком интеграла можно обозначать любой буквой: и т. д.

Замечание 2. В отличие от неопределенного интеграла , который представляет семейство функций (первообразных), определенный интеграл есть определенное число.